Упр.29.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим неравенство

$$|x^2+3x-1|>x^2+3x-1.$$

Для любого числа $$a$$ верно: $$|a|>a$$ тогда и только тогда, когда $$a<0$$. Значит,

$$x^2+3x-1<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-1)=9+4=13,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$x\in\left(\frac{-3-\sqrt{13}}{2};\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\right).$$

б) Решим неравенство

$$\left|x-\frac1x\right|>\frac{x^2-1}{x}.$$

ОДЗ: $$x\ne 0.$$ Заметим, что

$$x-\frac1x=\frac{x^2-1}{x}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\left|\frac{x^2-1}{x}\right|>\frac{x^2-1}{x}.$$

Это возможно тогда и только тогда, когда

$$\frac{x^2-1}{x}<0.$$

Решим неравенство:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x}<0.$$

По знакам на промежутках получаем

$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

в) Решим неравенство

$$|5x^2+x|>5x^2+x.$$

Аналогично, это верно тогда и только тогда, когда

$$5x^2+x<0.$$

Разложим на множители:

$$x(5x+1)<0.$$

Отсюда

$$x\in\left(-\frac15;0\right).$$

г) Рассмотрим неравенство

$$|x|\cdot|x-7|>7x-x^2.$$

Левая часть равна $$|x(x-7)|=|x^2-7x|$$, а правая часть:

$$7x-x^2=-(x^2-7x).$$

Тогда

$$|x^2-7x|>-(x^2-7x).$$

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

$$x^2-7x>0.$$

Разложим на множители:

$$x(x-7)>0.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{-3-\sqrt{13}}{2};\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\right);$$ б) $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1);$$ в) $$x\in\left(-\frac15;0\right);$$ г) $$x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty).$$