Упр.29.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Так как $$|x^2-x|\ge x^2-x$$ при любом действительном $$x$$, то неравенство верно для всех $$x\in\mathbb R$$.

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

б) Рассмотрим область определения:

$$|x-2|-|x^2-4|\ne 0.$$

Решим уравнение

$$|x-2|=|x^2-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|.$$

Тогда

$$|x-2|=|x-2|\cdot|x+2|.$$

Отсюда либо $$|x-2|=0,$$ либо $$|x+2|=1.$$

Получаем исключаемые значения:

$$x=2,\quad x=-1,\quad x=-3.$$

Значит, область определения: $$x\ne -3,\,-1,\,2.$$

На этой области выражения под модулем в левой и правой частях совпадают по знаку, поэтому

$$\left|x+\frac{1}{|x-2|-|x^2-4|}\right|\ge x+\frac{1}{|x-2|-|x^2-4|}$$

выполняется для всех допустимых $$x$$.

Ответ: $$x\in\mathbb R,\; x\ne -3,\,-1,\,2.$$

в) Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x}{x^2-4}\right|\ge \frac{x}{x^2-4}.$$

Это верно при всех допустимых $$x$$, так как для любого числа $$t$$ выполняется $$|t|\ge t.$$

Область определения:

$$x^2-4\ne 0,\qquad x\ne \pm 2.$$

Ответ: $$x\in\mathbb R,\; x\ne \pm 2.$$

г) Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{1}{|x^3-2x^2|-|x-2|}\right|\ge \frac{1}{|x^3-2x^2|-|x-2|}.$$

Оно верно при всех допустимых $$x$$. Найдём область определения:

$$|x^3-2x^2|-|x-2|\ne 0,$$

то есть

$$|x^3-2x^2|=|x-2|.$$

Так как $$x^3-2x^2=x^2(x-2),$$ получаем

$$|x^2(x-2)|=|x-2|.$$

Отсюда либо $$|x-2|=0,$$ либо $$x^2=1.$$

Следовательно, исключаемые значения:

$$x=2,\quad x=-1,\quad x=1.$$

Ответ: $$x\in\mathbb R,\; x\ne -1,\,1,\,2.$$