Упр.29.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим два случая.
Если $$f(x)\ge 0,$$ то $$|f(x)|=f(x),$$ значит
$$|f(x)|\ge f(x).$$
Если $$f(x)<0,$$ то $$|f(x)|=-f(x),$$ поэтому
$$|f(x)|\ge f(x),$$ так как $$-f(x)\ge f(x).$$
Следовательно, неравенство $$|f(x)|\ge f(x)$$ выполняется для любого $$x$$ из области определения функции $$f(x)$$.
б) Аналогично рассмотрим случаи.
Если $$f(x)\ge 0,$$ то $$|f(x)|=f(x),$$ и тогда
$$|f(x)|>f(x)$$
не выполняется.
Если $$f(x)<0,$$ то $$|f(x)|=-f(x),$$ поэтому
$$|f(x)|>f(x)$$
выполняется.
Значит, неравенство $$|f(x)|>f(x)$$ равносильно неравенству $$f(x)<0.$$
в) Решим неравенство
$$\left|\frac{x}{x^2-4}\right|\ge \frac{x}{x^2-4}.$$
Оно имеет вид $$|f(x)|\ge f(x),$$ где
$$f(x)=\frac{x}{x^2-4}.$$
По пункту а) неравенство верно при всех значениях $$x$$ из области определения функции.
Найдём ОДЗ:
$$x^2-4\ne 0,$$
$$x^2\ne 4,$$
$$x\ne \pm 2.$$
Следовательно,
$$x\in \mathbb{R},\ x\ne -2,\ x\ne 2.$$
г) Решим неравенство
$$\frac{1}{\left|x^3-2x^2\right|-|x-2|}\ge \frac{1}{\left|x^3-2x^2\right|-|x-2|}.$$
Оно тождественно верно при всех значениях, где выражение определено и знаменатель не равен нулю. Найдём область определения:
$$\left|x^3-2x^2\right|-|x-2|\ne 0.$$
Так как
$$x^3-2x^2=x^2(x-2),$$
то
$$|x^3-2x^2|=|x^2(x-2)|=x^2|x-2|.$$
Тогда
$$|x^3-2x^2|-|x-2|=x^2|x-2|-|x-2|=|x-2|(x^2-1).$$
Следовательно,
$$|x-2|(x^2-1)\ne 0,$$
откуда
$$x\ne 2,\quad x^2-1\ne 0,$$
$$x\ne 2,\quad x\ne \pm 1.$$
Итак, область определения:
$$x\in \mathbb{R},\ x\ne -1,\ x\ne 1,\ x\ne 2.$$
Ответ
а) $$|f(x)|\ge f(x)$$ при всех $$x\in D(f).$$
б) $$|f(x)|>f(x)\iff f(x)<0.$$
в) $$x\in \mathbb{R},\ x\ne -2,\ x\ne 2.$$
г) $$x\in \mathbb{R},\ x\ne -1,\ x\ne 1,\ x\ne 2.$$
