Упр.29.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение для каждого значения параметра $$p$$:
а) $$|2x+1|=p$$;
б) $$|x^2-1|=(p-1)p$$;
в) $$|2x+1|=-1-5p$$;
г) $$|x^2-1|=4(p-1)-p^2$$.
$$|2x+1|=p.$$
Модуль неотрицателен, значит $$p\ge 0.$$
Если $$p<0,$$ решений нет.
Если $$p=0,$$ то
$$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$
Если $$p>0,$$ то
$$2x+1=\pm p,$$
откуда
$$x=\frac{-1\pm p}{2}.$$
$$|x^2-1|=(p-1)p.$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$p(p-1)\ge 0,$$
то есть $$p\le 0$$ или $$p\ge 1.$$
Тогда
$$x^2-1=\pm p(p-1).$$
Получаем два случая:
$$x^2=1+p(p-1)=p^2-p+1,$$
$$x^2=1-p(p-1)=1-p^2+p.$$
Следовательно,
$$x=\pm\sqrt{p^2-p+1}$$
или
$$x=\pm\sqrt{1-p^2+p},$$
если соответствующее подкоренное выражение неотрицательно.
Для $$x^2=p^2-p+1$$ имеем
$$p^2-p+1>0$$ при всех $$p,$$ значит это решение существует всегда при $$p\le 0$$ или $$p\ge 1.$$
Для $$x^2=1-p^2+p$$ нужно
$$1-p^2+p\ge 0,$$
то есть
$$p^2-p-1\le 0.$$
Отсюда
$$\frac{1-\sqrt5}{2}\le p\le \frac{1+\sqrt5}{2}.$$
С учётом условия $$p\le 0$$ или $$p\ge 1$$ получаем:
$$\frac{1-\sqrt5}{2}\le p\le 0 \quad \text{или} \quad 1\le p\le \frac{1+\sqrt5}{2}.$$
При граничных значениях:
$$p=\frac{1-\sqrt5}{2}\ \text{или}\ p=\frac{1+\sqrt5}{2}$$
имеем $$x=0,$$ а также $$x=\pm\sqrt{2}.$$
$$|2x+1|=-1-5p.$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$-1-5p\ge 0,\quad p\le -\frac15.$$
Если $$p>-\frac15,$$ решений нет.
Если $$p=-\frac15,$$ то
$$2x+1=0,\quad x=-\frac12.$$
Если $$p<-\frac15,$$ то
$$2x+1=\pm(-1-5p),$$
откуда
$$x=\frac{-1\pm(-1-5p)}{2}.$$
$$|x^2-1|=4(p-1)-p^2.$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$4(p-1)-p^2\ge 0,$$
$$-p^2+4p-4\ge 0,$$
$$-(p-2)^2\ge 0.$$
Это возможно только при
$$p=2.$$
Тогда
$$|x^2-1|=0,$$
значит
$$x^2-1=0,\quad x=\pm 1.$$
Ответ
а) если $$p<0,$$ корней нет; если $$p=0,$$ то $$x=-\frac12;$$ если $$p>0,$$ то $$x=\frac{-1\pm p}{2}.$$
б) если $$p\le \frac{1-\sqrt5}{2}$$ или $$p\ge \frac{1+\sqrt5}{2},$$ то $$x=\pm\sqrt{p^2-p+1};$$ если $$\frac{1-\sqrt5}{2}\le p\le 0$$ или $$1\le p\le \frac{1+\sqrt5}{2},$$ то $$x=\pm\sqrt{1-p^2+p}.$$
в) если $$p>-\frac15,$$ корней нет; если $$p=-\frac15,$$ то $$x=-\frac12;$$ если $$p<-\frac15,$$ то $$x=\frac{-1\pm(-1-5p)}{2}.$$
г) если $$p\ne 2,$$ корней нет; если $$p=2,$$ то $$x=\pm 1.$$
