Упр.29.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$\left|\frac{1-x}{1+3x}\right|>\left|1+x\right|$$
в) $$\left|1-\frac{1}{x}\right|\leq\left|2+\frac{5}{x}\right|$$
б) $$\left|\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}\right|>\left|1-x\right|$$
г) $$\left|x-\frac{1}{x}\right|\leq\left|2x^2-\frac{2}{x}\right|$$

Подробный ответ

а) $$\left|\frac{1-x}{1+3x}\right|>|1+x|,\qquad x\ne -\frac13.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\frac{1-x}{1+3x}\right)^2-(1+x)^2>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(1-x)^2-(1+x)^2(1+3x)^2}{(1+3x)^2}>0.$$

После преобразований получаем:

$$\frac{x(3x+5)}{(3x+1)^2}<0.$$

Так как $$(3x+1)^2>0$$ при $$x\ne -\frac13$$, то

$$x(3x+5)<0.$$

Отсюда

$$x\in\left(-\frac53;-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;0\right).$$

б) $$\left|\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}\right|>|1-x|,\qquad 1+x-3x^2\ne 0.$$

Возведём в квадрат:

$$\left(\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}\right)^2-(1-x)^2>0.$$

После преобразований:

$$\frac{(x-1)^2(3x^2+x+1)(3x^2-2x-1)}{(3x^2-x-1)^2}<0.$$

Так как $$3x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, а знаменатель положителен при допустимых $$x$$, остаётся решить

$$3x^2-2x-1<0.$$

Корни уравнения $$3x^2-2x-1=0$$:

$$x_1=-\frac13,\qquad x_2=1.$$

Тогда

$$x\in\left(-\frac{\sqrt3}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};-\frac13\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{13}}{6};1\right).$$

в) $$\left|1-\frac1x\right|\le \left|2+\frac5x\right|,\qquad x\ne 0.$$

Возведём в квадрат:

$$\left(1-\frac1x\right)^2-\left(2+\frac5x\right)^2\le 0.$$

После упрощения:

$$-\frac{(x+6)(3x+4)}{x^2}\le 0.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, получаем

$$(x+6)(3x+4)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-6]\cup\left[-\frac43;0\right)\cup(0;+\infty).$$

г) $$\left|x-\frac1x\right|\le \left|2x^2-\frac2x\right|,\qquad x\ne 0.$$

Возведём в квадрат:

$$\left(x-\frac1x\right)^2-\left(2x^2-\frac2x\right)^2\le 0.$$

После преобразований:

$$\frac{(x-1)^2(2x^2+x+1)(2x^2+3x+3)}{x^2}\ge 0.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, а

$$2x^2+x+1>0,\qquad 2x^2+3x+3>0,$$

то неравенство выполняется при всех допустимых $$x$$.

Следовательно,

$$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac53;-\frac13\right)\cup\left(-\frac13;0\right);$$
б) $$x\in\left(-\frac{\sqrt3}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};-\frac13\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{13}}{6};1\right);$$
в) $$x\in(-\infty;-6]\cup\left[-\frac43;0\right)\cup(0;+\infty);$$
г) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$