Упр.29.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|x^2-7x+3|<|2x^2+5x-10|$$;

б) $$|x^2+11x-6|\leqslant 10|x|$$;

в) $$|x^2+3x-5|\geqslant|x^2-7x+5|$$;

г) $$|5x^2-x|\geqslant|x-5|\cdot|x+2|$$.

а) $$|x^2-7x+3|<|2x^2+5x-10|$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x^2-7x+3)^2<(2x^2+5x-10)^2$$

$$\bigl(x^2-7x+3-(2x^2+5x-10)\bigr)\bigl(x^2-7x+3+(2x^2+5x-10)\bigr)<0$$

$$(-x^2-12x+13)(3x^2-2x-7)<0$$

$$(x^2+12x-13)(3x^2-2x-7)>0$$

Найдём корни:

$$x^2+12x-13=0,\quad D=144+52=196,\quad x_1=-13,\ x_2=1$$

$$3x^2-2x-7=0,\quad D=4+84=88,\quad x=\frac{2\pm\sqrt{88}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{22}}{3}$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-13)\cup\left(\frac{1-\sqrt{22}}{3};1\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{22}}{3};+\infty\right)$$

б) $$|x^2+11x-6|\le 10|x|$$

$$(x^2+11x-6)^2\le 100x^2$$

$$(x^2+11x-6-10x)(x^2+11x-6+10x)\le 0$$

$$(x^2+x-6)(x^2+21x-6)\le 0$$

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

$$x^2+21x-6=0,\quad D=441+24=465,\quad x=\frac{-21\pm\sqrt{465}}{2}$$

По знакам произведения получаем:

$$x\in\left[\frac{-21-\sqrt{465}}{2};-3\right]\cup\left[\frac{-21+\sqrt{465}}{2};2\right]$$

в) $$|x^2+3x-5|\ge |x^2-7x+5|$$

$$(x^2+3x-5)^2\ge (x^2-7x+5)^2$$

$$\bigl((x^2+3x-5)-(x^2-7x+5)\bigr)\bigl((x^2+3x-5)+(x^2-7x+5)\bigr)\ge 0$$

$$(10x-10)(2x^2-4x)\ge 0$$

$$20x(x-1)(x-2)\ge 0$$

$$x(x-1)(x-2)\ge 0$$

Следовательно,

$$x\in[0;1]\cup[2;+\infty)$$

г) $$|5x^2-x|\ge |x-5|\cdot|x+2|$$

$$|5x^2-x|\ge |(x-5)(x+2)|=|x^2-3x-10|$$

$$(5x^2-x)^2\ge (x^2-3x-10)^2$$

$$(5x^2-x-(x^2-3x-10))(5x^2-x+(x^2-3x-10))\ge 0$$

$$(4x^2+2x+10)(6x^2-4x-10)\ge 0$$

$$2(2x^2+x+5)\cdot 2(3x^2-2x-5)\ge 0$$

$$(2x^2+x+5)(3x^2-2x-5)\ge 0$$

Так как $$D=1-40=-39<0$$, то $$2x^2+x+5>0$$ при всех $$x$$. Значит, нужно решить

$$3x^2-2x-5\ge 0$$

$$D=4+60=64,\quad x=\frac{2\pm 8}{6}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac53$$

Итак,

$$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac53;+\infty\right)$$

Ответ

а) $$(-\infty;-13)\cup\left(\frac{1-\sqrt{22}}{3};1\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{22}}{3};+\infty\right)$$;

б) $$\left[\frac{-21-\sqrt{465}}{2};-3\right]\cup\left[\frac{-21+\sqrt{465}}{2};2\right]$$;

в) $$[0;1]\cup[2;+\infty)$$;

г) $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac53;+\infty\right)$$.