Упр.29.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 29.37. Решите неравенство: а) $$|5x+3|<|2x-1|$$; в) $$|3-7x|\leq|x+5|$$; б) $$|9x+1|>|5-9x|$$; г) $$|x-3|\geq|2x+3|$$.

Используем свойство модуля: $$|A|<|B|\iff A^2<B^2,\qquad |A|\le |B|\iff A^2\le B^2,$$ а также $$|A|>|B|\iff A^2>B^2,\qquad |A|\ge |B|\iff A^2\ge B^2.$$

1. $$|5x+3|<|2x-1|$$
   $$(5x+3)^2<(2x-1)^2$$
   $$25x^2+30x+9<4x^2-4x+1$$
   $$21x^2+34x+8<0$$
   $$(3x+4)(7x+2)<0$$
   Отсюда
   $$x\in\left(-\frac43;\,-\frac27\right).$$
2. $$|9x+1|>|5-9x|$$
   $$(9x+1)^2>(5-9x)^2$$
   $$(9x+1-5+9x)(9x+1+5-9x)>0$$
   $$(18x-4)\cdot 6>0$$
   $$18x-4>0$$
   $$x>\frac29$$
   Значит,
   $$x\in\left(\frac29;\,+\infty\right).$$
3. $$|3-7x|\le |x+5|$$
   $$(3-7x)^2\le (x+5)^2$$
   $$(3-7x-x-5)(3-7x+x+5)\le 0$$
   $$(-8x-2)(-6x+8)\le 0$$
   $$(8x+2)(6x-8)\le 0$$
   $$\left(x+\frac14\right)\left(x-\frac43\right)\le 0$$
   Следовательно,
   $$x\in\left[-\frac14;\,\frac43\right].$$
4. $$|x-3|\ge |2x+3|$$
   $$(x-3)^2\ge (2x+3)^2$$
   $$(x-3-2x-3)(x-3+2x+3)\ge 0$$
   $$(-x-6)(3x)\ge 0$$
   $$x(x+6)\le 0$$
   Отсюда
   $$x\in[-6;\,0].$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac43;\,-\frac27\right);$$ б) $$x\in\left(\frac29;\,+\infty\right);$$ в) $$x\in\left[-\frac14;\,\frac43\right];$$ г) $$x\in[-6;\,0].$$