Упр.29.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\left|x-\frac{4}{x}\right|<3$$; б) $$\left|x-\frac{4}{x}\right|\cdot\left|\frac{x}{x-2}\right|<7$$; в) $$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right|<\frac{1}{2}$$; г) $$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right|\cdot\left|\frac{x-1}{5x+4}\right|<\frac{1}{10}$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\left|x-\frac{4}{x}\right|<3.$$

Это равносильно системе:

$$\begin{cases} x-\frac{4}{x}<3,\\ x-\frac{4}{x}>-3. \end{cases}$$

1) $$x-\frac{4}{x}>-3 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2+3x-4}{x}>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{(x+4)(x-1)}{x}>0.$$

Отсюда $$x\in(-4;0)\cup(1;+\infty).$$

2) $$x-\frac{4}{x}<3 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^2-3x-4}{x}<0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{(x+1)(x-4)}{x}<0.$$

Отсюда $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;4).$$

Пересекаем полученные множества:

$$x\in(-4;-1)\cup(1;4).$$

б) $$\left|x-\frac{4}{x}\right|\cdot\left|\frac{x}{x-2}\right|<7.$$

При $$x\neq 0,\; x\neq 2$$ имеем:

$$\left|x-\frac{4}{x}\right|\cdot\left|\frac{x}{x-2}\right| = \left|\frac{x^2-4}{x}\right|\cdot\left|\frac{x}{x-2}\right| = \left|\frac{(x-2)(x+2)}{x}\right|\cdot\left|\frac{x}{x-2}\right| = |x+2|.$$

Тогда

$$|x+2|<7 \;\Longleftrightarrow\; -7<x+2<7 \;\Longleftrightarrow\; -9<x<5.$$

С учётом ОДЗ $$x\neq 0,\; x\neq 2$$ получаем:

$$x\in(-9;0)\cup(0;2)\cup(2;5).$$

в) $$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right|<\frac12.$$

ОДЗ: $$x\neq -2,\; x\neq 1.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1} = \frac{x(x-1)-(x+2)^2}{(x+2)(x-1)} = \frac{-5x-4}{(x+2)(x-1)}.$$

Тогда

$$\left|\frac{5x+4}{(x+2)(x-1)}\right|<\frac12.$$

Это равносильно системе:

$$\begin{cases} \frac{5x+4}{(x+2)(x-1)}<\frac12,\\[4pt] \frac{5x+4}{(x+2)(x-1)}>-\frac12. \end{cases}$$

После преобразований получаем:

$$\frac{x^2-9x-10}{(x+2)(x-1)}>0, \qquad \frac{x^2+11x+6}{(x+2)(x-1)}>0.$$

Корни числителей:

$$x^2-9x-10=(x+1)(x-10),$$

$$x^2+11x+6=0,\qquad x=\frac{-11\pm\sqrt{97}}{2}.$$

С учётом ОДЗ и знаков выражений получаем:

$$x\in\left(-\infty;\frac{-11-\sqrt{97}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{-11+\sqrt{97}}{2}\right)\cup(10;+\infty).$$

г) $$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right|\cdot\left|\frac{x-1}{5x+4}\right|<\frac1{10}.$$

ОДЗ: $$x\neq -2,\; x\neq 1,\; x\neq -\frac45.$$

Используем уже найденное выражение:

$$\left|\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\right| = \left|\frac{-5x-4}{(x+2)(x-1)}\right|.$$

Тогда

$$\left|\frac{-5x-4}{(x+2)(x-1)}\right|\cdot\left|\frac{x-1}{5x+4}\right| = \frac{1}{|x+2|}.$$

Получаем неравенство

$$\frac{1}{|x+2|}<\frac1{10} \;\Longleftrightarrow\; |x+2|>10.$$

Отсюда

$$x<-12 \quad \text{или} \quad x>8.$$

С учётом ОДЗ ответ не меняется.

Ответ: а) $$x\in(-4;-1)\cup(1;4);$$ б) $$x\in(-9;0)\cup(0;2)\cup(2;5);$$ в) $$x\in\left(-\infty;\frac{-11-\sqrt{97}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{-11+\sqrt{97}}{2}\right)\cup(10;+\infty);$$ г) $$x\in(-\infty;-12)\cup(8;+\infty).$$