Упр.29.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$y=\left|x+\frac{1}{x}\right|.$$ Тогда

$$y^2-4y-3+1\le 0 \\ y^2-4y-5\le 0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=16+20=36,\qquad y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$

Получаем

$$-1\le y\le 5.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то достаточно решить

$$\left|x+\frac{1}{x}\right|\le 5.$$

Это равносильно системе двух неравенств:

$$x+\frac{1}{x}\le 5,\qquad x+\frac{1}{x}\ge -5.$$

1) $$x+\frac{1}{x}\le 5$$

$$\frac{x^2-5x+1}{x}\le 0.$$

Корни числителя:

$$x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}.$$

Отсюда

$$x\in \left(0;\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right]\cup \left[\frac{5+\sqrt{21}}{2};+\infty\right).$$

2) $$x+\frac{1}{x}\ge -5$$

$$\frac{x^2+5x+1}{x}\ge 0.$$

Корни числителя:

$$x=\frac{-5\pm \sqrt{21}}{2}.$$

Отсюда

$$x\in \left(-\infty;\frac{-5-\sqrt{21}}{2}\right]\cup \left[\frac{-5+\sqrt{21}}{2};0\right).$$

Пересечение двух множеств даёт

$$x\in \left[\frac{-5-\sqrt{21}}{2};\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\right]\cup \left[\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right].$$

б) Пусть $$y=\left|x+\frac{2}{x}\right|.$$ Тогда

$$y^2+y-20<0.$$

Находим корни:

$$D=1+80=81,\qquad y_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$

Получаем

$$-5<y<4.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то

$$\left|x+\frac{2}{x}\right|<4.$$

Решаем двойное неравенство:

$$-4<x+\frac{2}{x}<4.$$

1) $$x+\frac{2}{x}<4$$

$$\frac{x^2-4x+2}{x}<0.$$

Корни числителя:

$$x=2\pm \sqrt{2}.$$

2) $$x+\frac{2}{x}>-4$$

$$\frac{x^2+4x+2}{x}>0.$$

Корни числителя:

$$x=-2\pm \sqrt{2}.$$

После исследования знаков получаем

$$x\in (-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2})\cup (2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}).$$

в) Пусть $$y=\left|x-\frac{1}{x}\right|.$$ Тогда

$$y^2+2y-8\ge 0.$$

Отсюда

$$(y+4)(y-2)\ge 0.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то остаётся

$$\left|x-\frac{1}{x}\right|\ge 2.$$

Решаем:

$$x-\frac{1}{x}\ge 2 \quad \text{или} \quad x-\frac{1}{x}\le -2.$$

1) $$x-\frac{1}{x}\ge 2$$

$$\frac{x^2-2x-1}{x}\ge 0.$$

Корни числителя:

$$x=1\pm \sqrt{2}.$$

2) $$x-\frac{1}{x}\le -2$$

$$\frac{x^2+2x-1}{x}\le 0.$$

Корни числителя:

$$x=-1\pm \sqrt{2}.$$

Итак,

$$x\in (-\infty;-1-\sqrt{2}]\cup [1-\sqrt{2};0)\cup (0;-1+\sqrt{2}]\cup [1+\sqrt{2};+\infty).$$

г) Пусть $$y=\left|x-\frac{3}{x}\right|.$$ Тогда

$$y^2-4y+4\le 0,$$

то есть

$$(y-2)^2\le 0.$$

Следовательно,

$$y=2.$$

Значит,

$$\left|x-\frac{3}{x}\right|=2.$$

Решаем два уравнения:

$$x-\frac{3}{x}=2 \quad \text{или} \quad x-\frac{3}{x}=-2.$$

1) $$x-\frac{3}{x}=2$$

$$x^2-2x-3=0,\qquad x=-1,\ 3.$$

2) $$x-\frac{3}{x}=-2$$

$$x^2+2x-3=0,\qquad x=-3,\ 1.$$

Итак,

$$x\in \{-3;\,-1;\,1;\,3\}.$$