Упр.29.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$y=|x|.$$ Тогда получаем:

$$y^2-4y+3>0$$

$$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4,$$

$$y_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad y_2=\frac{4+2}{2}=3.$$

Следовательно,

$$(y-1)(y-3)>0 \Rightarrow y<1 \text{ или } y>3.$$

Возвращаемся к замене:

$$|x|<1 \Rightarrow -1<x<1,$$

$$|x|>3 \Rightarrow x<-3 \text{ или } x>3.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;1)\cup(3;+\infty).$$

б) Пусть $$y=|x^2-3x|.$$ Тогда

$$y^2+y-20\le 0.$$

$$D=1+80=81,$$

$$y_1=\frac{-1-9}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-1+9}{2}=4.$$

Значит,

$$-5\le y\le 4.$$

Так как $$y=|x^2-3x|\ge 0,$$ то достаточно рассмотреть

$$|x^2-3x|\le 4.$$

Отсюда

$$-4\le x^2-3x\le 4.$$

Решим правую часть:

$$x^2-3x-4\le 0,$$

$$(x+1)(x-4)\le 0,$$

$$-1\le x\le 4.$$

Левая часть $$x^2-3x+4\ge 0$$ выполняется при всех $$x\in\mathbb R,$$ так как

$$D=9-16=-7<0.$$

Следовательно,

Ответ: $$x\in[-1;4].$$

в) Пусть $$y=|x-2|.$$ Тогда

$$y^2-4y-96<0.$$

$$D=16+384=400,$$

$$y_1=\frac{4-20}{2}=-8,\qquad y_2=\frac{4+20}{2}=12.$$

Получаем

$$-8<y<12.$$

Возвращаемся к замене:

$$-8<|x-2|<12.$$

Так как $$|x-2|\ge 0,$$ то достаточно

$$|x-2|<12,$$

откуда

$$-12<x-2<12,$$

$$-10<x<14.$$

Ответ: $$x\in(-10;14).$$

г) Пусть $$y=|x^2-5x|.$$ Тогда

$$y^2-5y-6\ge 0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$y_1=\frac{5-7}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{5+7}{2}=6.$$

Следовательно,

$$y\le -1 \text{ или } y\ge 6.$$

Так как $$y=|x^2-5x|\ge 0,$$ то остаётся

$$|x^2-5x|\ge 6.$$

Это равносильно системе случаев:

$$x^2-5x\le -6 \quad \text{или} \quad x^2-5x\ge 6.$$

1) $$x^2-5x+6\le 0,$$

$$(x-2)(x-3)\le 0,$$

$$2\le x\le 3.$$

2) $$x^2-5x-6\ge 0,$$

$$(x+1)(x-6)\ge 0,$$

$$x\le -1 \text{ или } x\ge 6.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1]\cup[2;3]\cup[6;+\infty).$$