Упр.29.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим модульное неравенство $$\left|x-\frac{2}{x+2}\right|>3.$$
Оно равносильно системе двух неравенств:
$$x-\frac{2}{x+2}>3 \quad \text{или} \quad x-\frac{2}{x+2}<-3,$$
где $$x\ne -2.$$
1) $$x-\frac{2}{x+2}>3$$
$$\frac{x^2+5x+4}{x+2}>0,$$
$$\frac{(x+4)(x+1)}{x+2}>0.$$
Отсюда
$$x\in(-4;-2)\cup(-1;+\infty).$$
2) $$x-\frac{2}{x+2}<-3$$
$$\frac{x^2+x-8}{x+2}<0.$$
Корни числителя:
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}.$$
Тогда
$$x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{33}}{2}\right)\cup(-2;\frac{-1+\sqrt{33}}{2}).$$
Пересекаем полученные множества с учетом области определения:
$$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac{-1-\sqrt{33}}{2};-2\right)\cup(-1;+\infty).$$
б) Решим неравенство $$\left|x-3\right|\cdot\left|\frac{3x}{x+2}\right|>2.$$
Так как $$\left|x-3\right|\cdot\left|\frac{3x}{x+2}\right|=\left|\frac{3x(x-3)}{x+2}\right|,$$ то получаем:
$$\left|\frac{3x(x-3)}{x+2}\right|>2.$$
Это равносильно системе:
$$\frac{3x(x-3)}{x+2}>2 \quad \text{или} \quad \frac{3x(x-3)}{x+2}<-2,$$
где $$x\ne -2.$$
1) $$\frac{3x(x-3)}{x+2}>2$$
$$\frac{3x^2-11x-4}{x+2}>0,$$
$$3x^2-11x-4=0,$$
$$D=169,\quad x_1=-\frac13,\quad x_2=4.$$
Следовательно,
$$x\in(-2;-\tfrac13)\cup(4;+\infty).$$
2) $$\frac{3x(x-3)}{x+2}<-2$$
$$\frac{3x^2-7x+4}{x+2}<0,$$
$$3x^2-7x+4=0,$$
$$D=1,\quad x_1=1,\quad x_2=\frac43.$$
Тогда
$$x\in(-2;1)\cup\left(\frac43;+\infty\right).$$
Объединяя результаты, получаем:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-\tfrac13)\cup(1;\tfrac43)\cup(4;+\infty).$$
в) Решим неравенство $$\left|\frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}\right|>5.$$
Область определения: $$x\ne -2,\; x\ne 1.$$
1) $$\frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}>5$$
$$\frac{2x^2+3x-14}{(x+2)(x-1)}>0.$$
Корни числителя:
$$2x^2+3x-14=0,$$
$$D=121,\quad x_1=-\frac72,\quad x_2=2.$$
Отсюда
$$x\in\left(-\frac72;-2\right)\cup(1;2).$$
2) $$\frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+2}{x-1}<-5$$
$$\frac{8x^2+7x-6}{(x+2)(x-1)}<0.$$
Корни числителя:
$$8x^2+7x-6=0,$$
$$D=241,\quad x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{241}}{16}.$$
Тогда
$$x\in\left(-2;\frac{-7-\sqrt{241}}{16}\right)\cup\left(\frac{-7+\sqrt{241}}{16};1\right).$$
Итак,
$$x\in\left(-\frac72;-2\right)\cup\left(-2;\frac{-7-\sqrt{241}}{16}\right)\cup\left(\frac{-7+\sqrt{241}}{16};1\right)\cup(1;2).$$
г) Решим неравенство $$\left|\frac{x}{x+2}+\frac{x}{x-1}\right|\cdot|x^2+x-2|>1.$$
Область определения: $$x\ne -2,\; x\ne 1.$$
Сначала упростим выражение:
$$\frac{x}{x+2}+\frac{x}{x-1}=\frac{x(x-1)+x(x+2)}{(x+2)(x-1)}=\frac{x(2x+1)}{(x+2)(x-1)}.$$
Тогда
$$\left|\frac{x(2x+1)}{(x+2)(x-1)}\right|\cdot|x^2+x-2|>1.$$
Так как $$x^2+x-2=(x+2)(x-1),$$ получаем
$$|x(2x+1)|>1.$$
Отсюда:
$$2x^2+x-1>0 \quad \text{или} \quad 2x^2+x+1<0.$$
Второе неравенство решений не имеет, а первое даёт
$$2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)>0.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
С учетом ОДЗ исключаем $$x=-2$$ и $$x=1$$:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup\left(\frac12;1\right)\cup(1;+\infty).$$
