Упр.29.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 29.30. Решите неравенство:
   а) $$\left|x-\frac{4}{x}\right|\geq -1$$;
   б) $$\left|\frac{x}{\sqrt{12x-x^2}}-\sqrt{x^2-2x-8}\right|>\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{10}$$.

а) Область определения: $$x \ne 0.$$

Так как $$\left|x-\frac{4}{x}\right|\ge 0,$$ то для любого допустимого $$x$$ выполняется

$$\left|x-\frac{4}{x}\right|\ge -1.$$

Следовательно, неравенство верно при всех $$x$$ из области определения.

$$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

б) Рассмотрим область определения выражения:

$$12x-x^2>0,$$

$$x^2-2x-8\ge 0.$$

Из первого неравенства получаем

$$x(12-x)>0,$$

откуда

$$0<x<12.$$

Из второго неравенства:

$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\ge 0,$$

значит,

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

Пересекаем с условием $$0<x<12$$:

$$x\in[4;12).$$

На этой области правая часть неравенства

$$\sqrt2+\sqrt3-\sqrt{10}<0,$$

а левая часть

$$\left|\frac{x}{\sqrt{12x-x^2}}-\sqrt{x^2-2x-8}\right|\ge 0.$$

Следовательно, неравенство выполняется для всех $$x$$ из области определения.

Ответ: а) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$ б) $$x\in[4;12).$$