Упр.29.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим уравнение

$$|2\sin x+1|+|-1+2\cos x|=2|\sin x+\cos x|.$$

Если $$2\sin x+1\ge 0$$ и $$-1+2\cos x\ge 0,$$ то левая часть равна

$$2\sin x+1-1+2\cos x=2\sin x+2\cos x,$$

то есть совпадает с правой частью. Значит, нужно решить систему

$$\begin{cases} 2\sin x+1\ge 0,\\ -1+2\cos x\ge 0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$\sin x\ge -\frac12,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

Из второго неравенства:

$$\cos x\ge \frac12,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Пересечение этих промежутков даёт

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left|\frac{\lg^2 x}{4}-1\right|+\left|\frac{\lg x-3}{2}+1\right|=\left|\frac{\lg^2 x}{4}+\frac{\lg x-3}{2}\right|.$$

Если

$$\frac{\lg^2 x}{4}-1\ge 0 \quad \text{и} \quad \frac{\lg x-3}{2}+1\ge 0,$$

то левая часть равна правой. Решим систему неравенств.

Из первого:

$$\frac{\lg^2 x}{4}-1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \lg^2 x-4\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; (\lg x-2)(\lg x+2)\ge 0.$$

Отсюда

$$0<x\le 0{,}01 \quad \text{или} \quad x\ge 100.$$

Из второго:

$$\frac{\lg x-3}{2}+1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \lg x-1\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ge 10.$$

Пересечение условий:

$$x\in[100;+\infty).$$

в) Рассмотрим уравнение

$$|2\sin 2x-\sqrt3|+|\sqrt3+2\cos x|=2|\sin 2x+\cos x|.$$

Если

$$2\sin 2x-\sqrt3\ge 0 \quad \text{и} \quad \sqrt3+2\cos x\ge 0,$$

то левая часть равна правой. Получаем систему

$$\begin{cases} 2\sin 2x-\sqrt3\ge 0,\\ \sqrt3+2\cos x\ge 0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\sin 2x\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

то есть

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Второе неравенство:

$$\cos x\ge -\frac{\sqrt3}{2},$$

откуда

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Пересечение даёт

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$|2-\lg x|+\left|\log_5(x^2-7x+7)-2\right|=\left|\log_5(x^2-7x+7)-\lg x\right|.$$

Если

$$2-\lg x\ge 0 \quad \text{и} \quad \log_5(x^2-7x+7)-2\ge 0,$$

то левая часть равна правой. Решим систему.

Из первого неравенства:

$$\lg x\le 2 \;\Longleftrightarrow\; 0<x\le 100.$$

Из второго:

$$\log_5(x^2-7x+7)\ge 2 \;\Longleftrightarrow\; x^2-7x+7\ge 25,$$

то есть

$$x^2-7x-18\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-7x-18=(x+2)(x-9).$$

Тогда

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 9.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$x\ge 9.$$

Пересечение с условием $$0<x\le 100$$ даёт

$$x\in[9;100].$$

Ответ:

а) $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in[100;+\infty);$$

в) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in[9;100].$$