Упр.29.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$\left|x^2+4x\right|+\left|-x^2+9\right|=\left|4x+9\right|$$;
- $$\left|\frac{(x+1)^2}{x}-x-1\right|+\left|\frac{x+1}{x}-2\right|=\left|\frac{(x+1)^2}{x}+\frac{x+1}{x}-x-3\right|$$;
- $$\left|x^3+3x^2-x-3\right|+\left|2x^2-x^3+7x+4\right|=\left|5x^2+6x+1\right|$$;
- $$\left|\frac{x+2}{x+1}+4\right|+\left|\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right|=\left|1-3x+\frac{5}{x+1}\right|$$.
а) Обозначим
$$A=x^2+4x,\quad B=9-x^2,\quad C=4x+9.$$
Тогда уравнение имеет вид $$|A|+|B|=|C|.$$
Проверим, что $$A+B=(x^2+4x)+(9-x^2)=4x+9=C.$$
Значит, $$|A|+|B|=|A+B|,$$ а это возможно тогда и только тогда, когда числа $$A$$ и $$B$$ одного знака или одно из них равно нулю:
$$AB\ge 0.$$
Следовательно,
$$(x^2+4x)(9-x^2)\ge 0$$
$$x(x+4)(3-x)(3+x)\ge 0$$
$$(x+4)(x+3)x(x-3)\le 0.$$
Отсюда
$$x\in[-4;-3]\cup[0;3].$$
б) При $$x\ne 0$$ уравнение можно записать так:
$$\left|\frac{(x+1)^2}{x}-x-1\right|+\left|\frac{x+1}{x}-2\right|=\left|\frac{(x+1)^2}{x}+\frac{x+1}{x}-x-3\right|.$$
Проверим сумму подмодульных выражений:
$$\left(\frac{(x+1)^2}{x}-x-1\right)+\left(\frac{x+1}{x}-2\right)=\frac{(x+1)^2}{x}+\frac{x+1}{x}-x-3.$$
Значит, нужно решить неравенство
$$\left(\frac{(x+1)^2}{x}-x-1\right)\left(\frac{x+1}{x}-2\right)\ge 0,\quad x\ne 0.$$
Упростим:
$$\frac{x+1}{x}\cdot\frac{1-x}{x}\ge 0.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, получаем
$$(x+1)(1-x)\ge 0,\quad x\ne 0.$$
Отсюда
$$x\in[-1;0)\cup(0;1].$$
в) Обозначим
$$A=x^3+3x^2-x-3,\quad B=2x^2-x^3+7x+4,\quad C=5x^2+6x+1.$$
Проверим:
$$A+B=5x^2+6x+1=C.$$
Тогда
$$|A|+|B|=|A+B|$$
и, значит,
$$AB\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^3+3x^2-x-3=(x+1)(x-1)(x+3),$$
$$2x^2-x^3+7x+4=(x+1)(x+1)(4-x).$$
Следовательно,
$$(x+1)(x-1)(x+3)\cdot (x+1)^2(4-x)\ge 0,$$
то есть
$$(x+1)(x-1)(x+3)(4-x)\ge 0.$$
По методу интервалов получаем
$$x\in[-3;-1]\cup[1;4].$$
г) При $$x\ne -1$$ имеем
$$\left|\frac{x+2}{x+1}+4\right|+\left|\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right|=\left|1-3x+\frac{5}{x+1}\right|.$$
Проверим сумму подмодульных выражений:
$$\left(\frac{x+2}{x+1}+4\right)+\left(\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right)=1-3x+\frac{5}{x+1}.$$
Значит, нужно решить неравенство
$$\left(\frac{x+2}{x+1}+4\right)\left(\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right)\ge 0,\quad x\ne -1.$$
Упростим:
$$\frac{5x+6}{x+1}\cdot\frac{-3x-7}{x+1}\ge 0.$$
Тогда
$$-(5x+6)(3x+7)\ge 0,\quad x\ne -1,$$
или
$$(5x+6)(3x+7)\le 0,\quad x\ne -1.$$
Отсюда
$$x\in\left[-\frac{7}{3};-\frac{6}{5}\right]\cup(-1;0].$$
Ответ
а) $$x\in[-4;-3]\cup[0;3]$$; б) $$x\in[-1;0)\cup(0;1]$$; в) $$x\in[-3;-1]\cup[1;4]$$; г) $$x\in\left[-\frac{7}{3};-\frac{6}{5}\right]\cup(-1;0].$$
