Упр.29.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение $$|f(x)|+|h(x)|=|f(x)+h(x)|$$ равносильно неравенству $$f(x)\cdot h(x)\ge 0$$.

Рассмотрим равенство

$$|f(x)|+|h(x)|=|f(x)+h(x)|.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\bigl(|f(x)|+|h(x)|\bigr)^2=\bigl|f(x)+h(x)\bigr|^2.$$

Тогда

$$f^2(x)+2|f(x)|\,|h(x)|+h^2(x)=f^2(x)+2f(x)h(x)+h^2(x).$$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем

$$|f(x)|\,|h(x)|=f(x)h(x).$$

Но $$|f(x)|\,|h(x)|=|f(x)h(x)|,$$ значит

$$|f(x)h(x)|=f(x)h(x).$$

Это возможно тогда и только тогда, когда

$$f(x)h(x)\ge 0.$$

Следовательно, уравнение $$|f(x)|+|h(x)|=|f(x)+h(x)|$$ равносильно неравенству $$f(x)h(x)\ge 0.$$

Ответ

$$|f(x)|+|h(x)|=|f(x)+h(x)| \iff f(x)h(x)\ge 0.$$