Упр.29.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$|x^2+2x-3|+|-x^2+2x+8|=4x+5$$;
2. $$\left|\frac{x^2}{x-1}-x\right|+\left|\frac{x}{x-1}-2\right|=\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{x-1}-x-2$$;
3. $$|x^3-4x|+|5x^2-x^3|=5x^2-4x$$;
4. $$\left|\frac{x+1}{x}+4\right|+\left|\frac{4-x}{x}-3x\right|=4-3x+\frac{5}{x}$$.

а) Приравняем выражения под модулями к их положительным значениям:

$$\begin{aligned} |x^2+2x-3|+|-x^2+2x+8|&=4x+5,\\ (x^2+2x-3)+(-x^2+2x+8)&=4x+5. \end{aligned}$$

Чтобы равенство с модулями выполнялось, нужно, чтобы оба выражения под модулями были неотрицательны:

$$x^2+2x-3\ge 0,\qquad -x^2+2x+8\ge 0.$$

Решим неравенства:

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\ge 0 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 1,$$

$$-x^2+2x+8\ge 0 \Rightarrow x^2-2x-8\le 0 \Rightarrow (x-4)(x+2)\le 0 \Rightarrow -2\le x\le 4.$$

Пересечение множеств:

$$x\in [1;4].$$

б) Область определения: $$x\ne 1$$.

Преобразуем выражения под модулями:

$$\frac{x^2}{x-1}-x=\frac{x^2-x(x-1)}{x-1}=\frac{x}{x-1},$$

$$\frac{x}{x-1}-2=\frac{x-2(x-1)}{x-1}=\frac{2-x}{x-1}.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\left|\frac{x}{x-1}\right|+\left|\frac{2-x}{x-1}\right| = \frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{x-1}-x-2.$$

Чтобы левая часть равнялась правой, нужно:

$$\frac{x}{x-1}\ge 0,\qquad \frac{2-x}{x-1}\ge 0.$$

Решаем систему:

$$\frac{x}{x-1}\ge 0 \Rightarrow x\in (-\infty;0]\cup(1;+\infty),$$

$$\frac{2-x}{x-1}\ge 0 \Rightarrow x\in (1;2].$$

Пересечение:

$$x\in (1;2].$$

в) Рассмотрим выражения под модулями:

$$|x^3-4x|+|5x^2-x^3|=5x^2-4x.$$

Если оба выражения под модулями неотрицательны, то

$$(x^3-4x)+(5x^2-x^3)=5x^2-4x,$$

и нужно решить систему:

$$x^3-4x\ge 0,\qquad 5x^2-x^3\ge 0.$$

Первое неравенство:

$$x(x^2-4)\ge 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2)\ge 0 \Rightarrow x\in [-2;0]\cup[2;+\infty).$$

Второе неравенство:

$$x^2(5-x)\ge 0 \Rightarrow x\in (-\infty;5].$$

Пересечение:

$$x\in [-2;0]\cup[2;5].$$

г) Область определения: $$x\ne 0$$.

Преобразуем выражения под модулями:

$$\frac{x+1}{x}+4=\frac{5x+1}{x},$$

$$\frac{4-x}{x}-3x=\frac{4-x-3x^2}{x}.$$

Тогда нужно, чтобы

$$\frac{5x+1}{x}\ge 0,\qquad \frac{4-x-3x^2}{x}\ge 0.$$

Решаем первое неравенство:

$$\frac{5x+1}{x}\ge 0 \Rightarrow x\in (-\infty;-\tfrac15]\cup(0;+\infty).$$

Решаем второе:

$$\frac{4-x-3x^2}{x}\ge 0 \Rightarrow \frac{3x^2+x-4}{x}\le 0.$$

Корни числителя:

$$3x^2+x-4=0,\qquad D=1+48=49,$$

$$x_1=\frac{-1-7}{6}=-\frac43,\qquad x_2=\frac{-1+7}{6}=1.$$

Тогда

$$\frac{(3x+4)(x-1)}{x}\le 0 \Rightarrow x\in (-\infty;-\tfrac43]\cup(0;1].$$

Пересечение множеств:

$$x\in (-\infty;-\tfrac43]\cup(0;1].$$

Ответ

а) $$x\in [1;4]$$; б) $$x\in (1;2]$$; в) $$x\in [-2;0]\cup[2;5]$$; г) $$x\in (-\infty;-\tfrac43]\cup(0;1]$$.