Упр.29.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что уравнение $$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+h(x)$$ равносильно системе $$\begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$

Пусть $$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+h(x).$$

Правая часть равенства — сумма двух неотрицательных выражений, значит, она неотрицательна. Тогда и левая часть неотрицательна, а так как $$|f(x)|\ge 0,\quad |h(x)|\ge 0,$$ то равенство возможно только при

$$|f(x)|=f(x),\qquad |h(x)|=h(x).$$

Отсюда получаем

$$f(x)\ge 0,\qquad h(x)\ge 0.$$

Обратно, если

$$f(x)\ge 0,\qquad h(x)\ge 0,$$

то

$$|f(x)|=f(x),\qquad |h(x)|=h(x),$$

и значит,

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+h(x).$$

Следовательно, уравнение равносильно системе

$$\begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$

Ответ

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+h(x)\iff \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$