Упр.29.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{x}{x+2}+\left|x^2-2x-8\right|=\frac{x}{x+2};$$
   б) $$\left|\frac{\sin 2x}{x+4}\right|+\left|x^2-5x-24\right|=-\frac{\sin 2x}{x+4};$$
   в) $$\left|\frac{\sin 2x}{x+4}\right|+\left|\sin 2\pi x+\sin \pi x\right|=\frac{x}{x-1};$$
   г) $$\left|\frac{x}{\sin x}\right|+\left|3\sin x-\sin 3x\right|=\frac{x}{\sin x}.$$

а) Рассмотрим уравнение

$$\left|\frac{x}{x+2}\right|+|x^2-2x-8|=\frac{x}{x+2}.$$

Так как $$\left|\frac{x}{x+2}\right|\ge \frac{x}{x+2},$$ то равенство возможно только при

$$|x^2-2x-8|=0,$$

то есть

$$x^2-2x-8=0.$$

Решим уравнение:

$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0,$$

$$x=4 \text{ или } x=-2.$$

При $$x=-2$$ выражение не имеет смысла, так как знаменатель обращается в нуль. Значит, подходит только $$x=4$$.

Ответ: $$4$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\left|\frac{\sin 2x}{x+4}\right|+|x^2-5x-24|=-\frac{\sin 2x}{x+4}.$$

Поскольку $$\left|\frac{\sin 2x}{x+4}\right|\ge -\frac{\sin 2x}{x+4},$$ равенство возможно только при

$$x^2-5x-24=0.$$

Решим:

$$x^2-5x-24=(x-8)(x+3)=0,$$

$$x=8 \text{ или } x=-3.$$

Проверим условие

$$-\frac{\sin 2x}{x+4}\ge 0.$$

При $$x=8$$:

$$-\frac{\sin 16}{12}>0,$$

так как $$\sin 16<0.$$

При $$x=-3$$:

$$-\frac{\sin(-6)}{1}=\sin 6<0,$$

поэтому это значение не подходит.

Ответ: $$8$$.

в) Рассмотрим уравнение

$$\left|\frac{\sin 2\pi x}{x-1}\right|+|\sin 2\pi x+\sin \pi x|=\frac{x}{x-1}.$$

Так как $$\left|\frac{\sin 2\pi x}{x-1}\right|\ge \frac{x}{x-1},$$ равенство возможно только при

$$\sin 2\pi x+\sin \pi x=0.$$

Преобразуем:

$$2\sin \frac{3\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}=0.$$

Отсюда

$$\sin \frac{3\pi x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{\pi x}{2}=0.$$

Получаем

$$x=\frac{2n}{3} \quad \text{или} \quad x=1+2n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь учитываем условие

$$\frac{x}{x-1}\ge 0,\qquad x\ne 1.$$

Проверка показывает, что среди найденных значений подходят только

$$x=n,\qquad n\in \mathbb{Z},\ n\ne 1,$$

и

$$x=\pm \frac{2}{3}+2n,\qquad n\in \mathbb{Z},\ n\ne 0.$$

Ответ: $$x=n,\ n\ne 1;\quad x=\pm \frac{2}{3}+2n,\ n\ne 0.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\left|\frac{x}{\sin x}\right|+|3\sin x-\sin 3x|=\frac{x}{\sin x}.$$

Так как $$\left|\frac{x}{\sin x}\right|\ge \frac{x}{\sin x},$$ то необходимо, чтобы

$$|3\sin x-\sin 3x|=0,$$

то есть

$$3\sin x-\sin 3x=0.$$

Используем формулу

$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x.$$

Тогда

$$3\sin x-(3\sin x-4\sin^3 x)=0,$$

$$4\sin^3 x=0,$$

$$\sin x=0.$$

Но при $$\sin x=0$$ выражение $$\frac{x}{\sin x}$$ не определено. Значит, решений нет.

Ответ: решений нет.