Упр.29.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение $$|f(x)|+|h(x)|=f(x)$$ равносильно системе $$\begin{cases} h(x)=0,\\ f(x)\ge 0. \end{cases}$$

Пусть $$x$$ — решение уравнения $$|f(x)|+|h(x)|=f(x).$$

Так как $$|f(x)|\ge 0$$ и $$|h(x)|\ge 0,$$ то левая часть неотрицательна, значит, и правая часть неотрицательна:

$$f(x)\ge 0.$$

При этом из равенства

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)$$

и условия $$f(x)\ge 0$$ получаем $$|f(x)|=f(x),$$ поэтому

$$f(x)+|h(x)|=f(x).$$

Отсюда

$$|h(x)|=0,$$

значит,

$$h(x)=0.$$

Итак, любое решение исходного уравнения удовлетворяет системе

$$\begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$

Обратно, пусть $$x$$ удовлетворяет системе

$$\begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$

Тогда $$|h(x)|=0,$$ а из $$f(x)\ge 0$$ следует $$|f(x)|=f(x).$$ Подставляя в левую часть уравнения, получаем:

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)+0=f(x).$$

Значит, каждое решение системы является решением исходного уравнения. Следовательно, уравнение равносильно системе

$$\begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$

Ответ

$$|f(x)|+|h(x)|=f(x)\iff \begin{cases}h(x)=0,\\ f(x)\ge 0.\end{cases}$$