Упр.29.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$|\sin x|+\cos\left|\frac{x}{2}\right|-\ =0$$;
б) $$|\sin 3x+\cos 3x|+|\cos 6x|=0$$;
в) $$|\cos 2x|+|\sin 4x|=0$$;
г) $$\left|\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x\right|+\left|1-\cos\left(6x-\frac{\pi}{3}\right)\right|=0$$.
а) Так как сумма модулей равна нулю, то каждый модуль должен быть равен нулю:
$$\begin{cases} \sin x=0,\\ \cos \dfrac{x}{2}=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения получаем $$x=\pi n,$$ из второго:
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pi+2\pi n.$$
Общие решения этих уравнений совпадают при $$x=\pi+2\pi n.$$
б) Аналогично,
$$\begin{cases} \sin 3x+\cos 3x=0,\\ \cos 6x=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\tan 3x=-1 \quad \Rightarrow \quad 3x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,$$
откуда
$$x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{3}.$$
Проверка второго уравнения показывает, что эти значения ему удовлетворяют, так как
$$\cos 6x=\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)=0.$$
в) Имеем систему
$$\begin{cases} \cos 2x=0,\\ \sin 4x=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}.$$
Эти значения удовлетворяют и второму уравнению, так как
$$\sin 4x=\sin(\pi+2\pi n)=0.$$
г) Получаем систему
$$\begin{cases} \sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=0,\\ 1-\cos\left(6x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\cos\left(6x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1 \quad \Rightarrow \quad 6x-\dfrac{\pi}{3}=2\pi n,$$
следовательно,
$$x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{\pi n}{3}.$$
Первое уравнение преобразуем:
$$\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=0 \quad \Rightarrow \quad \tan 3x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$$
Тогда
$$3x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{\pi n}{3}.$$
Это и есть общее решение.
Ответ
а) $$x=\pi+2\pi n$$; б) $$x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{3}$$; в) $$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}$$; г) $$x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$
