Упр.29.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- а) $$\left|x^2-4x+3\right|+\left|x^2-5x+4\right|=0$$;
б) $$\left|\frac{4x}{x^2(x+1)}-\frac{5x+1}{x+2}\right|+\left|x^2+x-2\right|=0$$;
в) $$\left|x^2-2x\right|+\left|2x^2-5x+2\right|=0$$;
г) $$\left|\frac{3x}{2x+1}-\frac{1-4x}{x^3(x+6)}\right|+\left|x^2-6x-7\right|=0$$.
а) Так как сумма модулей равна нулю, то каждый модуль должен быть равен нулю:
$$\begin{cases} x^2-4x+3=0,\\ x^2-5x+4=0. \end{cases}$$
Решим уравнения:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=3,$$
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=4.$$
Общий корень один: $$x=1$$.
б) Область определения: $$x\neq 0,\; x\neq -1,\; x\neq -2.$$
Так как сумма модулей равна нулю, то
$$\begin{cases} \dfrac{4x}{x^2(x+1)}-\dfrac{5x+1}{x+2}=0,\\ x^2+x-2=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=1.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=1$$. Проверим первое уравнение:
$$\dfrac{4\cdot 1}{1^2(1+1)}-\dfrac{5\cdot 1+1}{1+2} = \dfrac{4}{2}-\dfrac{6}{3}=2-2=0.$$
Значит, $$x=1$$.
в) Аналогично, каждый модуль должен быть равен нулю:
$$\begin{cases} x^2-2x=0,\\ 2x^2-5x+2=0. \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$
Второе уравнение:
$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=\dfrac12 \text{ или } x=2.$$
Общий корень: $$x=2$$.
г) Область определения: $$x\neq 0,\; x\neq -\dfrac12,\; x\neq -6.$$
Из равенства суммы модулей нулю получаем систему:
$$\begin{cases} \dfrac{3x}{2x+1}-\dfrac{1-4x}{x^3(x+6)}=0,\\ x^2-6x-7=0. \end{cases}$$
Решим второе уравнение:
$$x^2-6x-7=(x-7)(x+1)=0 \Rightarrow x=7 \text{ или } x=-1.$$
Проверим в первом уравнении:
$$x=7:\quad \dfrac{3\cdot 7}{2\cdot 7+1}-\dfrac{1-4\cdot 7}{7^3(7+6)} = \dfrac{21}{15}-\dfrac{-27}{343\cdot 13}\neq 0,$$
$$x=-1:\quad \dfrac{3\cdot (-1)}{2\cdot (-1)+1}-\dfrac{1-4\cdot (-1)}{(-1)^3((-1)+6)} = \dfrac{-3}{-1}-\dfrac{5}{-5}\neq 0.$$
Подходящих корней нет.
Ответ
а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$2$$; г) корней нет.
