Упр.29.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$|x — 5| + 4|x| = 17$$; в) $$|x + 10| — 2|x — 10| = 11$$; б) $$2|x — 5| — |x + 6| = 7$$; г) $$3|4x — 5| = 2|-x| + 1$$.
Рассмотрим уравнения по промежуткам, на которых знаки модулей постоянны.
а)
$$|x-5|+4|x|=17$$
1) Если $$x<0$$, то
$$5-x-4x=17$$
$$5x=-12$$
$$x=-2{,}4.$$
2) Если $$0\le x<5$$, то
$$5-x+4x=17$$
$$3x=12$$
$$x=4.$$
3) Если $$x\ge 5$$, то
$$x-5+4x=17$$
$$5x=22$$
$$x=4{,}4,$$
но это значение не подходит, так как $$x\ge 5$$.
Ответ: $$-2{,}4;\ 4.$$
б)
$$2|x-5|-|x+6|=7$$
1) Если $$x<-6$$, то
$$2(5-x)-( -x-6)=7$$
$$10-2x+x+6=7$$
$$x=9,$$
но это значение не подходит, так как $$x<-6$$.
2) Если $$-6\le x<5$$, то
$$2(5-x)-(x+6)=7$$
$$10-2x-x-6=7$$
$$3x=-3$$
$$x=-1.$$
3) Если $$x\ge 5$$, то
$$2(x-5)-(x+6)=7$$
$$2x-10-x-6=7$$
$$x=23.$$
Ответ: $$-1;\ 23.$$
в)
$$|x+10|-2|x-10|=11$$
1) Если $$x<-10$$, то
$$-(x+10)-2(10-x)=11$$
$$-x-10-20+2x=11$$
$$x=41,$$
но это значение не подходит, так как $$x<-10$$.
2) Если $$-10\le x<10$$, то
$$x+10-2(10-x)=11$$
$$x+10-20+2x=11$$
$$3x=21$$
$$x=7.$$
3) Если $$x\ge 10$$, то
$$x+10-2(x-10)=11$$
$$x+10-2x+20=11$$
$$x=19.$$
Ответ: $$7;\ 19.$$
г)
$$3|4x-5|=2|-x|+1$$
Так как $$|-x|=|x|$$, получаем
$$3|4x-5|=2|x|+1.$$
1) Если $$x<0$$, то
$$3(5-4x)=-2x+1$$
$$15-12x=-2x+1$$
$$10x=14$$
$$x=1{,}4,$$
но это значение не подходит, так как $$x<0$$.
2) Если $$0\le x<1{,}25$$, то
$$3(5-4x)=2x+1$$
$$15-12x=2x+1$$
$$14x=14$$
$$x=1.$$
3) Если $$x\ge 1{,}25$$, то
$$3(4x-5)=2x+1$$
$$12x-15=2x+1$$
$$10x=16$$
$$x=1{,}6.$$
Ответ: $$1;\ 1{,}6.$$
