Упр.29.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 29.13. Решите уравнение:
   а) $$|x^2 — 5x| = 4|x|$$;
   б) $$|2x — x^2 + 3| = |x + 3|$$;
   в) $$|x^2 — 6x + 10| = |x + 10|$$;
   г) $$|-x^2 + 4x — 8| = 2|-x|$$.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. $$|x^2-5x|=4|x|$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$\left(x^2-5x\right)^2=16x^2$$

   $$x^2(x-5)^2-16x^2=0$$

   $$x^2\bigl((x-5)^2-16\bigr)=0$$

   $$x^2(x^2-10x+9)=0$$

   $$x^2(x-1)(x-9)=0$$

   Отсюда:

   $$x=0,\; x=1,\; x=9.$$

2. $$|2x-x^2+3|=|x+3|$$

   Рассмотрим два случая:

   $$2x-x^2+3=x+3$$

   $$-x^2+x=0$$

   $$x(x-1)=0$$

   $$x=0,\; x=1.$$

   Или

   $$2x-x^2+3=-(x+3)$$

   $$-x^2+3x+6=0$$

   $$x^2-3x-6=0$$

   $$x=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}.$$

   Ответы этого пункта:

   $$x=0,\;1,\;\frac{3-\sqrt{33}}{2},\;\frac{3+\sqrt{33}}{2}.$$

3. $$|x^2-6x+10|=|x+10|$$

   Снова рассмотрим два случая:

   $$x^2-6x+10=x+10$$

   $$x^2-7x=0$$

   $$x(x-7)=0$$

   $$x=0,\; x=7.$$

   Или

   $$x^2-6x+10=-(x+10)$$

   $$x^2-5x+20=0$$

   $$D=25-80=-55<0,$$

   значит, действительных корней нет.

   Следовательно,

   $$x=0,\;7.$$

4. $$|-x^2+4x-8|=2|-x|$$

   Так как $$|-x|=|x|,$$ получаем:

   $$|-x^2+4x-8|=2|x|.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$-x^2+4x-8=2x$$

   $$x^2-2x+8=0$$

   $$D=4-32=-28<0,$$

   действительных корней нет.

   Или

   $$-x^2+4x-8=-2x$$

   $$x^2-6x+8=0$$

   $$\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0$$

   $$x=2,\;4.$$

Ответ: а) $$0;\,1;\,9$$; б) $$0;\,1;\,\frac{3-\sqrt{33}}{2};\,\frac{3+\sqrt{33}}{2}$$; в) $$0;\,7$$; г) $$2;\,4$$.