Упр.29.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$|f(x)|=|h(x)|$$

Возведём обе части в квадрат:

$$|f(x)|^2=|h(x)|^2$$

Так как $$|a|^2=a^2$$, получаем

$$\bigl(f(x)\bigr)^2=\bigl(h(x)\bigr)^2$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$\bigl(f(x)\bigr)^2-\bigl(h(x)\bigr)^2=0$$

$$\bigl(f(x)-h(x)\bigr)\bigl(f(x)+h(x)\bigr)=0$$

Следовательно,

$$f(x)-h(x)=0 \quad \text{или} \quad f(x)+h(x)=0$$

то есть

$$f(x)=h(x) \quad \text{или} \quad f(x)=-h(x).$$

Значит, уравнение $$|f(x)|=|h(x)|$$ равносильно совокупности уравнений

$$\begin{cases} f(x)=h(x),\\ f(x)=-h(x). \end{cases}$$

Ответ

$$|f(x)|=|h(x)| \iff \begin{cases} f(x)=h(x),\\ f(x)=-h(x). \end{cases}$$