Упр.29.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|\cos x|=\sin x$$; в) $$|\sin 2x|=\cos x$$; б) $$|\cos 3x|=-\cos x$$; г) $$|\sin 5x|=-\sin x$$.

а) Рассмотрим два случая:

$$\cos x=\sin x \quad \text{или} \quad \cos x=-\sin x$$

Если $$\cos x=\sin x,$$ то $$\tg x=1,$$ откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Если $$\cos x=-\sin x,$$ то $$\tg x=-1,$$ откуда
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
С учётом знака правой части $$\sin x\ge 0$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

б) Уравнение равносильно совокупности двух систем:

$$\begin{cases} \cos 3x\ge 0,\\ \cos 3x+\cos x=0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \cos 3x<0,\\ \cos 3x-\cos x=0 \end{cases}$$

1) $$\cos 3x+\cos x=0,$$ тогда
$$2\cos 2x\cos x=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$
Проверка условия $$\cos 3x\ge 0$$ даёт
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

2) $$\cos 3x-\cos x=0,$$ тогда
$$-2\sin 2x\sin x=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
С учётом условия $$\cos 3x<0$$ получаем
$$x=\pi+2\pi n.$$

Итак,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\pi+2\pi n,\qquad x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

в) Уравнение равносильно совокупности двух систем:

$$\begin{cases} \sin 2x=\cos x,\\ \cos x\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \sin 2x=-\cos x,\\ \cos x\le 0 \end{cases}$$

1) $$\sin 2x=\cos x,$$ тогда
$$2\sin x\cos x-\cos x=0,$$
$$\cos x(2\sin x-1)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
С учётом $$\cos x\ge 0$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

2) $$\sin 2x=-\cos x,$$ тогда
$$2\sin x\cos x+\cos x=0,$$
$$\cos x(2\sin x+1)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
С учётом $$\cos x\le 0$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Итак,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

г) Уравнение равносильно совокупности двух систем:

$$\begin{cases} \sin 5x=-\sin x,\\ \sin x\le 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \sin 5x=\sin x,\\ \sin x\le 0 \end{cases}$$

1) $$\sin 5x=-\sin x,$$ тогда
$$\sin 5x+\sin x=0,$$
$$2\sin 3x\cos 2x=0.$$
Отсюда
$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$
С учётом $$\sin x\le 0$$ получаем
$$x=\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

2) $$\sin 5x=\sin x,$$ тогда
$$\sin 5x-\sin x=0,$$
$$2\sin 2x\cos 3x=0.$$
Отсюда
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$
С учётом $$\sin x\le 0$$ получаем
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Итак,
$$x=\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{4}+2\pi n;$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n;$$
в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n;$$
г) $$x=\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$