Упр.29.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|\log_2(x)|=\log_2(2x-3)$$; б) $$|\log_3(3x-2)+\log_3(2x-1)|=\log_3(2x-1)$$; в) $$|\log_5(x+3)|=\log_5(4x+1)$$; г) $$|\log_7(2x-7)-\log_7(x-11)|=\log_7(x-11)$$.

а) Рассмотрим два случая:

$$\begin{aligned} &\log_2 x=\log_2(2x-3),\\ &\log_2 x=-\log_2(2x-3). \end{aligned}$$

1) $$\log_2 x=\log_2(2x-3)$$, значит $$x=2x-3,$$ откуда $$x=3.$$

2) $$\log_2 x=-\log_2(2x-3),$$ тогда

$$\log_2 x+\log_2(2x-3)=0,$$
$$x(2x-3)=1,$$
$$2x^2-3x-1=0.$$

Но по условию модуля нужно ещё учесть область определения и знак правой части: $$\log_2(2x-3)\ge 0,$$ то есть

$$2x-3\ge 1,\quad x\ge 2.$$

Из найденных значений подходит только $$x=3.$$

б) Аналогично:

$$\begin{aligned} &\log_3(3x-2)+\log_3(2x-1)=\log_3(2x-1),\\ &\log_3(3x-2)+\log_3(2x-1)=-\log_3(2x-1). \end{aligned}$$

1) $$\log_3(3x-2)=0,$$ значит $$3x-2=1,$$ откуда $$x=1.$$

2) $$\log_3(3x-2)+2\log_3(2x-1)=0,$$ то есть

$$(3x-2)(2x-1)^2=1.$$

Это уравнение не даёт подходящих корней с учётом области определения.

ОДЗ: $$2x-1>0,$$ значит $$x>\frac12.$$ Подходит только $$x=1.$$

в) Рассмотрим два случая:

$$\begin{aligned} &\log_5(x+3)=\log_5(4x+1),\\ &\log_5(x+3)=-\log_5(4x+1). \end{aligned}$$

1) $$x+3=4x+1,$$ откуда $$3x=2,$$ значит $$x=\frac23.$$

2) $$\log_5(x+3)+\log_5(4x+1)=0,$$ значит

$$(x+3)(4x+1)=1,$$
$$4x^2+13x+2=0.$$

Корни этого уравнения не подходят с учётом ОДЗ: $$4x+1>0,$$ то есть $$x>-\frac14.$$

Подходит только $$x=\frac23.$$

г) Рассмотрим два случая:

$$\begin{aligned} &\log_7(2x-7)-\log_7(x-11)=\log_7(x-11),\\ &\log_7(2x-7)-\log_7(x-11)=-\log_7(x-11). \end{aligned}$$

1) $$\log_7(2x-7)=2\log_7(x-11),$$ значит

$$2x-7=(x-11)^2.$$

$$2x-7=x^2-22x+121,$$
$$x^2-24x+128=0,$$
$$x=8 \text{ или } x=16.$$

2) $$\log_7(2x-7)=0,$$ значит $$2x-7=1,$$ откуда $$x=4.$$

ОДЗ: $$x-11>0,$$ то есть $$x>11.$$

Из найденных значений подходит только $$x=16.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$1$$; в) $$\frac23$$; г) $$16$$.