Упр.28.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2\sqrt{x+4}\ge \frac{1}{2}\sqrt{128}$$
б) $$0{,}5\left(\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\le 1$$

а) $$2\sqrt{x+4}\ge \frac12\sqrt{128}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac12\sqrt{128}=\frac12\cdot 8\sqrt2=4\sqrt2=2\cdot 2\sqrt2=2\cdot 2^{3/2}.$$

Тогда

$$2\sqrt{x+4}\ge 2\cdot 2^{3/2}.$$

Делим обе части на $$2$$:

$$\sqrt{x+4}\ge 2^{3/2}.$$

Возводим в квадрат:

$$x+4\ge 8,$$

$$x\ge 4.$$

С учётом области определения $$x+4\ge 0$$ получаем тот же результат.

б) $$0{,}5\left(\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\right)\le 1.$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\le 2.$$

Так как $$\sin x\le 1$$, то левая часть всегда не превосходит

$$1+\frac{\sqrt3}{2}<2.$$

Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$x$$.

Ответ

а) $$x\in[4;+\infty).$$

б) $$x\in\mathbb{R}.$$