Упр.28.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2-5x)\geq\log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3)$$; б) $$\lg(5x^2-15x)<\lg(2x-6)$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно и учтём область допустимых значений.

а)

$$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2-5x)\ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3).$$

Так как $$0<\frac{1}{\pi}<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит

$$2x^2-5x\le 2x-3.$$

Решим квадратное неравенство:

$$2x^2-7x+3\le 0$$

$$D=49-24=25,\quad x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{7+5}{4}=3.$$

Тогда

$$\frac12\le x\le 3.$$

Теперь найдём ОДЗ:

$$2x^2-5x>0 \;\Rightarrow\; x(2x-5)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>\frac52,$$

$$2x-3>0 \;\Rightarrow\; x>\frac32.$$

Пересечение условий даёт:

$$x\in\left(\frac52,3\right].$$

б)

$$\lg(5x^2-15x)\le \lg(2x-6).$$

Так как функция $$\lg x$$ возрастает, получаем

$$5x^2-15x\le 2x-6.$$

Решим неравенство:

$$5x^2-17x+6\le 0$$

$$D=289-120=169,\quad x_1=\frac{17-13}{10}=\frac25,\quad x_2=\frac{17+13}{10}=3.$$

Следовательно,

$$\frac25\le x\le 3.$$

ОДЗ:

$$5x^2-15x>0 \;\Rightarrow\; 5x(x-3)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>3,$$

$$2x-6>0 \;\Rightarrow\; x>3.$$

Совместить это с $$\frac25\le x\le 3$$ нельзя, поэтому решений нет.

Ответ

а) $$x\in\left(\frac52,3\right]$$; б) $$\varnothing$$.