Упр.28.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим неравенства

$$x+3^x-2a-9^a<0,$$

$$\frac{x-3a-1}{x-5a+3}<0.$$

1. Первое неравенство

Преобразуем его:

$$x+3^x<2a+9^a=2a+3^{2a}.$$

Обозначим $$f(x)=x+3^x.$$ Тогда

$$f'(x)=1+3^x\ln 3>0,$$

значит, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Следовательно, из неравенства $$f(x)<f(2a)$$ получаем

$$x<2a.$$

2. Второе неравенство

Преобразуем дробь:

$$\frac{x-(3a+1)}{x-(5a-3)}<0.$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков, то есть

$$3a+1<x<5a-3.$$

Чтобы такое множество существовало, нужно

$$3a+1<5a-3,$$

откуда

$$2a>4,\qquad a>2.$$

3. Условие, чтобы ни одно решение первого неравенства не было решением второго

Решения первого неравенства: $$x<2a.$$

Решения второго неравенства: $$3a+1<x<5a-3.$$

Чтобы ни одно решение первого неравенства не являлось решением второго, нужно, чтобы эти промежутки не пересекались. При $$a>2$$ имеем $$3a+1<5a-3$$, и тогда достаточно потребовать

$$2a\le 3a+1.$$

Отсюда

$$a\ge -1.$$

С учётом условия $$a>2$$ получаем

$$a>2.$$

Ответ: $$a\in(2;+\infty).$$