Упр.28.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$(x^2+8x+15)\log_{0,5}\left(1+\cos^2\frac{\pi x}{4}\right)\geq 1$$; б) $$(10x-x^2-24)\log_5\left(4\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right)\geq 1$$.
а) Рассмотрим множители:
$$x^2+8x+15=(x+4)^2-1\ge -1,$$
так как $$(x+4)^2\ge 0.$$
Кроме того,
$$-1\le \cos^2\frac{\pi x}{4}\le 1,$$
значит,
$$1\le 1+\cos^2\frac{\pi x}{4}\le 2.$$
Так как основание логарифма $$0{,}5<1,$$ то
$$-1\le \log_{0{,}5}\!\left(1+\cos^2\frac{\pi x}{4}\right)\le 0.$$
Произведение двух чисел, каждое из которых не меньше соответствующей границы, может быть не меньше $$1$$ только при
$$x^2+8x+15=-1$$
и
$$\log_{0{,}5}\!\left(1+\cos^2\frac{\pi x}{4}\right)=-1.$$
Из первого уравнения:
$$x^2+8x+15=-1 \;\Rightarrow\; x^2+8x+16=0 \;\Rightarrow\; (x+4)^2=0 \;\Rightarrow\; x=-4.$$
Проверим:
$$\log_{0{,}5}\!\left(1+\cos^2\frac{\pi(-4)}{4}\right)=\log_{0{,}5}(1+\cos^2\pi)=\log_{0{,}5}2=-1.$$
Значит, $$x=-4.$$
б) Рассмотрим множители:
$$10x-x^2-24=1-(x-5)^2\le 1,$$
так как $$(x-5)^2\ge 0.$$
Также
$$-1\le \sin\frac{\pi x}{2}\le 1,$$
откуда
$$0\le \sin^2\frac{\pi x}{2}\le 1,$$
$$1\le 4\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\le 5.$$
Так как основание логарифма $$5>1,$$ то
$$0\le \log_5\!\left(4\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right)\le 1.$$
Чтобы произведение было не меньше $$1,$$ нужно, чтобы оба множителя одновременно приняли наибольшие возможные значения:
$$10x-x^2-24=1,$$
$$\log_5\!\left(4\sin^2\frac{\pi x}{2}+1\right)=1.$$
Из первого уравнения:
$$10x-x^2-24=1 \;\Rightarrow\; x^2-10x+25=0 \;\Rightarrow\; (x-5)^2=0 \;\Rightarrow\; x=5.$$
Проверим:
$$\log_5\!\left(4\sin^2\frac{5\pi}{2}+1\right)=\log_5(4\cdot 1+1)=\log_5 5=1.$$
Следовательно, $$x=5.$$
Ответ: а) $$-4$$; б) $$5$$.
