Упр.28.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{(x^2+x+1)^2+2(x^3+x^2+x)-3x^2}{10x^2-17x+6}\ge 0$$

б) $$\frac{(x^2-x-1)^2-2(x^3-x^2-x)-3x^2}{10x^4-43x^3-9x^2}\le 0$$

а) Обозначим $$a=x^2+x+1.$$ Тогда числитель преобразуется так:

$$a^2+2(x^3+x^2+x)-3x^2 = (x^2+x+1)^2+2(x^3+x^2+x)-3x^2$$
$$= x^4+4x^3+4x^2+4x+1 = (x^2+1)(x^2+4x+1).$$

Найдём корни числителя:

$$x^2+4x+1=0,\qquad D=16-4=12,$$
$$x_{1,2}=-2\pm\sqrt3.$$

Знаменатель:

$$10x^2-17x-6=0,$$
$$D=17^2+4\cdot10\cdot6=529,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm23}{20},\qquad x=-\frac{3}{10},\ 2.$$

Тогда

$$\frac{(x^2+1)(x+2-\sqrt3)(x+2+\sqrt3)}{10\left(x+\frac{3}{10}\right)(x-2)}\ge 0.$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ получаем по методу интервалов:

$$x\in(-\infty,-2-\sqrt3]\cup\left(-\frac{3}{10},-2+\sqrt3\right]\cup(2,+\infty).$$

б) Обозначим $$a=x^2-x-1.$$ Тогда числитель:

$$a^2-2(x^3-x^2-x)-3x^2 = (x^2-x-1)^2-2(x^3-x^2-x)-3x^2$$
$$= x^4-4x^3-2x^2+4x+1 = (x^2-1)(x^2-4x-1).$$

Корни числителя:

$$x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1,$$
$$x^2-4x-1=0 \Rightarrow x=2\pm\sqrt5.$$

Знаменатель:

$$10x^4-43x^3-9x^2=x^2(10x^2-43x-9),$$
$$10x^2-43x-9=0,$$
$$D=43^2+4\cdot10\cdot9=2209,$$
$$x_{1,2}=\frac{43\pm47}{20},\qquad x=-\frac15,\ \frac92.$$

Следовательно,

$$\frac{(x-1)(x+1)(x-2-\sqrt5)(x-2+\sqrt5)}{x^2\left(10x^2-43x-9\right)}\le 0.$$

Учитывая, что $$x\ne0,$$ и применяя метод интервалов, получаем:

$$x\in[-1,\,2-\sqrt5]\cup\left(-\frac15,\,0\right)\cup(0,\,1]\cup[2+\sqrt5,\,\frac92).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty,-2-\sqrt3]\cup\left(-\frac{3}{10},-2+\sqrt3\right]\cup(2,+\infty).$$

б) $$x\in[-1,\,2-\sqrt5]\cup\left(-\frac15,\,0\right)\cup(0,\,1]\cup[2+\sqrt5,\,\frac92).$$