Упр.28.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 28.56. Решите неравенство:
   
   а) $$\sqrt{4-\log_{0,5}x}<\sqrt{\log_2x}-1+\sqrt{6-\log_8(x^3)}$$;
   б) $$\sqrt{\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x}}\leq\sqrt{\log_3(243x)}-\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}\frac{27}{x}}$$.

а) Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$\sqrt{y+4}<\sqrt{y-1}+\sqrt{6-y}.$$

Область допустимых значений:

$$y+4\ge 0,\quad y-1\ge 0,\quad 6-y\ge 0,$$

откуда

$$1\le y\le 6.$$

Возведём неравенство в квадрат:

$$y+4<y-1+2\sqrt{(y-1)(6-y)}+6-y,$$

$$y-1<2\sqrt{(y-1)(6-y)}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$\left(y-1\right)^2<4(y-1)(6-y).$$

$$y^2-2y+1<24y-4y^2-24y+24?$$

Упростим аккуратно:

$$y^2-2y+1<4(7y-y^2-6),$$

$$y^2-2y+1<28y-4y^2-24,$$

$$5y^2-30y+25<0,$$

$$y^2-6y+5<0,$$

$$\left(y-1\right)\left(y-5\right)<0.$$

Отсюда

$$1<y<5.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$1<\log_2 x<5.$$

Тогда

$$2<x<32.$$

б) Преобразуем логарифмы:

$$\sqrt{\log_{\sqrt3}\sqrt x}\le \sqrt{\log_3 243x}-\sqrt{\log_{1/3}\frac{27}{x}}.$$

Так как

$$\log_{\sqrt3}\sqrt x=\log_3 x,$$

$$\log_3 243x=\log_3 243+\log_3 x=5+\log_3 x,$$

$$\log_{1/3}\frac{27}{x}=\log_3 x-3,$$

то, введя замену $$t=\log_3 x,$$ получаем

$$\sqrt t\le \sqrt{t+5}-\sqrt{t-3}.$$

ОДЗ:

$$t\ge 0,\quad t-3\ge 0,$$

значит

$$t\ge 3.$$

Перенесём и возведём в квадрат:

$$\sqrt t+\sqrt{t-3}\le \sqrt{t+5},$$

$$t+2\sqrt{t(t-3)}+t-3\le t+5,$$

$$2\sqrt{t(t-3)}\le 8-t.$$

Отсюда также $$8-t\ge 0,$$ то есть $$t\le 8.$$ Тогда

$$4t(t-3)\le (8-t)^2,$$

$$4t^2-12t\le t^2-16t+64,$$

$$3t^2+4t-64\le 0,$$

$$\left(3t+16\right)\left(t-4\right)\le 0.$$

С учётом $$t\ge 3$$ получаем

$$3\le t\le 4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3\le \log_3 x\le 4,$$

$$27\le x\le 81.$$

Ответ

а) $$x\in(2;32).$$

б) $$x\in[27;81].$$