Упр.28.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$6\log_3|x-1|\leq 14+2x-x^2$$; б) $$\log_2(x^2+x-10)>25-2x-2x^2$$.
а) Преобразуем неравенство:
$$6\log_3|x-1|\le 14+2x-x^2$$
$$3\log_3(x-1)^2\le 15-(x-1)^2$$
Введём замену:
$$t=(x-1)^2,\qquad t>0.$$
Тогда получаем:
$$3\log_3 t\le 15-t,$$
или
$$\log_3 t\le 5-\frac{t}{3}.$$
Рассмотрим функции $$y=\log_3 t$$ и $$y=5-\frac{t}{3}.$$ Первая возрастает при $$t>0$$, вторая убывает. Точка их пересечения находится из равенства
$$\log_3 t=5-\frac{t}{3}.$$
Проверим значение $$t=9$$:
$$\log_3 9=2,\qquad 5-\frac{9}{3}=2.$$
Значит, пересечение происходит при $$t=9$$, и решение неравенства:
$$0<t\le 9.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$0<(x-1)^2\le 9.$$
Отсюда
$$0<|x-1|\le 3,$$
то есть
$$-3\le x-1<0 \quad \text{или} \quad 0<x-1\le 3.$$
Получаем:
$$-2\le x<1 \quad \text{или} \quad 1<x\le 4.$$
б) Решим неравенство:
$$\log_2(x^2+x-10)>25-2x-2x^2.$$
Введём замену:
$$t=x^2+x-10.$$
Тогда
$$25-2x-2x^2=5-2(x^2+x-10)=5-2t,$$
и неравенство принимает вид
$$\log_2 t>5-2t.$$
Область определения:
$$t>0.$$
Функция $$y=\log_2 t$$ возрастает при $$t>0$$, а функция $$y=5-2t$$ убывает при $$t>0$$. Найдём точку пересечения:
$$\log_2 t=5-2t.$$
Проверим $$t=2$$:
$$\log_2 2=1,\qquad 5-2\cdot 2=1.$$
Значит, решение:
$$t>2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x^2+x-10>2,$$
$$x^2+x-12>0,$$
$$(x+4)(x-3)>0.$$
Отсюда
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$
Ответ
а) $$x\in[-2;1)\cup(1;4]$$; б) $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty).$$
