Упр.28.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{\sin x-1}\leq 4-x^2$$; б) $$\sqrt{\cos x-1}\geq x^2-49$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

а)

$$\sqrt{\sin x-1}\le 4-x^2$$

Чтобы левая часть была определена, нужно:

$$\sin x-1\ge 0,$$

то есть

$$\sin x=1.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях

$$\sqrt{\sin x-1}=\sqrt{1-1}=0,$$

и неравенство принимает вид

$$0\le 4-x^2,$$

то есть

$$x^2\le 4.$$

Из серии $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ этому условию удовлетворяет только

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

б)

$$\sqrt{\cos x-1}\ge x^2-49$$

Область определения задаётся условием

$$\cos x-1\ge 0,$$

то есть

$$\cos x=1.$$

Следовательно,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\sqrt{\cos x-1}=\sqrt{1-1}=0,$$

и неравенство сводится к

$$0\ge x^2-49,$$

то есть

$$x^2\le 49.$$

Из серии $$x=2\pi n$$ этому условию удовлетворяют

$$x=-2\pi,\ 0,\ 2\pi.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}$$; б) $$x\in\{-2\pi,\,0,\,2\pi\}$$.