Упр.28.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

$$\left(x^2-x+1\right)^{\frac{x-11}{x+4}}\leq\left(x^2-x+1\right)^3$$

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство $$\left(x^2-x+1\right)^{\frac{x-11}{x-4}}\le \left(x^2-x+1\right)^3.$$

Так как $$x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>1$$ при любом $$x,$$ основание степени всегда положительно и больше единицы. Значит, функция $$a^t$$ при $$a>1$$ возрастает, поэтому достаточно сравнить показатели:

$$\frac{x-11}{x-4}\le 3,$$

при этом нужно учитывать, что основание не равно нулю и выражение определено при $$x\ne 4.$$

Решим неравенство:

$$\frac{x-11}{x-4}-3\le 0 \\\\ \frac{x-11-3x+12}{x-4}\le 0 \\\\ \frac{-2x+1}{x-4}\le 0 \\\\ \frac{2x-1}{x-4}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=\frac12$$ и $$x=4.$$ По знакам дроби получаем:

$$x\in(-\infty;\tfrac12]\cup(4;+\infty).$$

Но при $$0<x<1$$ основание $$x^2-x+1$$ лежит между $$\frac34$$ и $$1,$$ и тогда сравнение степеней меняется. Проверим этот промежуток отдельно:

$$0<x^2-x+1\le 1 \iff x\in[0;1].$$

На этом промежутке функция $$a^t$$ при $$0<a<1$$ убывает, поэтому нужно:

$$\frac{x-11}{x-4}\ge 3.$$

Решаем:

$$\frac{x-11}{x-4}-3\ge 0 \\\\ \frac{-2x+1}{x-4}\ge 0 \\\\ \frac{2x-1}{x-4}\le 0,$$