Упр.28.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$\log_8\log_9\log_{7x+6}\left((7x+6)^9+x^2-x-56\right)>0$$

Пусть

$$t=\log_{7x+6}\bigl((7x+6)^9+x^2-x-56\bigr).$$

Тогда исходное неравенство принимает вид

$$\log_8\log_9 t>0.$$

Так как основание логарифма $$8>1$$, то

$$\log_9 t>1.$$

Так как основание логарифма $$9>1$$, получаем

$$t>9.$$

Значит, нужно решить неравенство

$$\log_{7x+6}\bigl((7x+6)^9+x^2-x-56\bigr)>9.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$7x+6>1,$$ то

   $$\begin{aligned} \log_{7x+6}\bigl((7x+6)^9+x^2-x-56\bigr)>9 \\ (7x+6)^9+x^2-x-56&gtrsim (7x+6)^9 \\ x^2-x-56&gtrsim 0. \end{aligned}$$

   Решаем квадратное неравенство:

   $$x^2-x-56=(x-8)(x+7).$$

   Тогда

   $$x<-7 \quad \text{или} \quad x>8.$$

   С учётом условия $$7x+6>1,$$ получаем

   $$x>8.$$

2. Если $$0<7x+6<1,$$ то

   $$-\frac67<x<-\frac57.$$

   В этом случае

   $$0<(7x+6)^9<1,\qquad 0<x^2<1,$$

   поэтому

   $$(7x+6)^9+x^2-x-56<(7x+6)^9,$$

   и неравенство $$\log_{7x+6}\bigl((7x+6)^9+x^2-x-56\bigr)>9$$ не выполняется.

Следовательно, решение неравенства:

$$x>8.$$

Ответ: $$x\in(8;+\infty).$$