Упр.28.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$(12x^3-16x^2-7x+6)\left(\log_{\frac{1}{3}}(4-2x)+\log_3(x+2)\right)>0$$

Рассмотрим неравенство

$$\left(12x^3-16x^2-7x+6\right)\left(\log_{\frac13}(4-2x)+\log_3(x+2)\right)>0.$$

Разложим первый множитель на линейные множители:

$$12x^3-16x^2-7x+6=12\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac32\right)\left(x+\frac23\right).$$

Теперь преобразуем второй множитель:

$$\log_{\frac13}(4-2x)+\log_3(x+2)=-\log_3(4-2x)+\log_3(x+2)=\log_3\frac{x+2}{4-2x}.$$

Найдём, где он положителен:

$$\log_3\frac{x+2}{4-2x}>0 \iff \frac{x+2}{4-2x}>1 \iff \frac{3x-2}{4-2x}>0.$$

С учётом области определения $$4-2x>0,\ x+2>0,$$ получаем

$$-2<x<2,$$

а знак второго множителя меняется в точке $$x=\frac23.$$

На промежутке $$(-2,2)$$ знак выражения $$\log_{\frac13}(4-2x)+\log_3(x+2)$$ совпадает со знаком $$x-\frac23.$$

Тогда исходное неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} 12\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac32\right)\left(x+\frac23\right)\left(x-\frac23\right)>0,\\ -2<x<2. \end{cases}$$

По методу интервалов получаем:

$$x\in\left(-2,-\frac23\right)\cup\left(\frac12,\frac23\right)\cup\left(\frac32,2\right).$$

Ответ

$$x\in\left(-2,-\frac23\right)\cup\left(\frac12,\frac23\right)\cup\left(\frac32,2\right).$$