Упр.28.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- $$\log_{x+2}(x^2-4x+1)>\log_{\frac{3x}{5}}(x-6)$$
Рассмотрим неравенство
$$\log_{x+2}(x^2-4x+1)>\log_{\frac{3x-5}{x-6}}1.$$
Так как $$\log_a 1=0$$ при любом допустимом основании $$a$$, получаем равносильное неравенство
$$\log_{x+2}(x^2-4x+1)>0.$$
Ход решения
Для логарифма с положительным основанием, не равным $$1$$, имеем:
- если $$0<a<1$$, то $$\log_a b>0 \iff 0<b<1$$;
- если $$a>1$$, то $$\log_a b>0 \iff b>1$$.
Здесь основание $$a=x+2$$, поэтому нужно рассмотреть два случая.
1) $$0<x+2<1$$, то есть $$-2<x<-1$$.
Тогда должно выполняться
$$0<x^2-4x+1<1.$$
Из неравенства $$x^2-4x+1<1$$ получаем
$$x^2-4x<0,$$
$$x(x-4)<0,$$
$$0<x<4.$$
Пересечение с $$(-2;-1)$$ пусто, значит, в этом случае решений нет.
2) $$x+2>1$$, то есть $$x>-1$$.
Тогда должно выполняться
$$x^2-4x+1>1,$$
$$x^2-4x>0,$$
$$x(x-4)>0,$$
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>4.$$
С учётом условия $$x>-1$$ получаем
$$-1<x<0 \quad \text{или} \quad x>4.$$
Теперь учтём область допустимых значений основания второго логарифма:
$$\frac{3x-5}{x-6}>0,\qquad \frac{3x-5}{x-6}\ne 1.$$
Из первого неравенства:
$$x<\frac53 \quad \text{или} \quad x>6.$$
Из условия $$\frac{3x-5}{x-6}\ne 1$$:
$$3x-5\ne x-6,$$
$$2x\ne -1,$$
$$x\ne -\frac12.$$
Пересекаем найденные промежутки с ОДЗ. Получаем
$$x\in\left(-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(6;+\infty).$$
Ответ
$$x\in\left(-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(6;+\infty).$$
