Упр.28.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 28.13. Решите неравенство, применяя теоремы о равносильности неравенств:
   а) $$\log_{14}(x-1)\leq\log_{14}(2x+3)$$;
   б) $$\log_{0,3}(2x+1)<\log_{0,3}(x-3)$$.

а) Так как основание логарифма $$14>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$\log_{14}(x-1)\le \log_{14}(2x+3)\iff x-1\le 2x+3.$$

Решаем линейное неравенство:

$$x-1\le 2x+3 \iff -x\le 4 \iff x\ge -4.$$

Учитываем область определения:

$$x-1>0 \iff x>1,$$

$$2x+3>0 \iff x>-\frac{3}{2}.$$

Пересечение условий:

$$x>1.$$

Следовательно,

$$x\in(1;+\infty).$$

б) Основание логарифма $$0{,}3<1,$$ поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

$$\log_{0{,}3}(2x+1)<\log_{0{,}3}(x-3)\iff 2x+1>x-3.$$

Решаем:

$$2x+1>x-3 \iff x>-4.$$

Учитываем область определения:

$$2x+1>0 \iff x>-\frac{1}{2},$$

$$x-3>0 \iff x>3.$$

Пересечение условий:

$$x>3.$$

Значит,

$$x\in(3;+\infty).$$

Ответ: а) $$x\in(1;+\infty);$$ б) $$x\in(3;+\infty).$$