Упр.28.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_x(21-4x)>2$$; б) $$\log_{2x-3}(x^2-10x+9)\leq 2$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\log_x(21-4x)>2.$$

Для существования логарифма нужно:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 21-4x>0.$$

То есть $$x<\frac{21}{4}.$$

Далее учитываем основание логарифма.

Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x t$$ убывает, поэтому

$$21-4x<x^2.$$

Тогда

$$x^2+4x-21>0,$$

$$(x+7)(x-3)>0,$$

откуда $$x<-7$$ или $$x>3.$$

С учётом $$0<x<1$$ решений нет.

Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x t$$ возрастает, поэтому

$$21-4x>x^2.$$

Получаем

$$x^2+4x-21<0,$$

$$(x+7)(x-3)<0,$$

откуда $$-7<x<3.$$

С учётом $$x>1$$ и $$x<\frac{21}{4}$$ имеем

$$1<x<3.$$

б) Рассмотрим неравенство $$\log_{2x-3}(x^2-10x+9)\le 2.$$

Область определения:

$$2x-3>0,\quad 2x-3\ne 1,\quad x^2-10x+9>0.$$

Отсюда

$$x>\frac32,\quad x\ne 2,$$

а также

$$x^2-10x+9=(x-1)(x-9)>0,$$

значит $$x<1$$ или $$x>9.$$

С учётом $$x>\frac32$$ получаем $$x>9.$$

Теперь учитываем основание логарифма.

Если $$1<2x-3<1,$$ то это невозможно, поэтому остаётся случай $$2x-3>1,$$ то есть $$x>2.$$

При $$x>2$$ функция логарифма возрастает, значит

$$x^2-10x+9\le (2x-3)^2.$$

Тогда

$$x^2-10x+9\le 4x^2-12x+9,$$

$$3x^2-2x\ge 0,$$

$$x(3x-2)\ge 0.$$

При $$x>9$$ это неравенство выполняется.

Следовательно,

$$x\in(9;+\infty).$$

Ответ: а) $$x\in(1;3);$$ б) $$x\in(9;+\infty).$$