Упр.28.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Так как функция $$\sqrt[3]{x}$$ возрастает, то можно сравнить подкоренные выражения:

$$3^{2-x}-13<\left(\frac13\right)^x+11.$$

Преобразуем:

$$3^{2-x}-13<3^{-x}+11$$

$$9\cdot 3^{-x}-3^{-x}<24$$

$$8\cdot 3^{-x}<24$$

$$3^{-x}<3$$

$$-x<1$$

$$x>-1.$$

Следовательно,

$$x\in(-1;+\infty).$$

б) Так как функция $$\sqrt[7]{x}$$ возрастает, то достаточно решить неравенство под корнем:

$$2\ln^2x-3\ln x+5>6-4\ln x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\ln^2x+\ln x-1>0.$$

Пусть $$y=\ln x$$. Тогда получаем:

$$2y^2+y-1>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

Тогда

$$2(y+1)\left(y-\frac12\right)>0,$$

откуда

$$y<-1 \quad \text{или} \quad y>\frac12.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\ln x<-1 \quad \Rightarrow \quad 0<x<\frac1e,$$

$$\ln x>\frac12 \quad \Rightarrow \quad x>\sqrt e.$$

С учётом области определения $$x>0$$ имеем:

$$x\in\left(0;\frac1e\right)\cup(\sqrt e;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-1;+\infty)$$

б) $$x\in\left(0;\frac1e\right)\cup(\sqrt e;+\infty)$$