Упр.28.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\lg(0{,}2x-5)<\log_{0{,}1}(95-3\cdot0{,}2x)^{-1}$$
2. б) $$\log_{0{,}1}\bigl(3\sqrt{3x+1}-2\bigr)>0{,}25\cdot\log_{0{,}1}\bigl(\sqrt{3x+1}\bigr)\lg(0{,}1^{-8})$$

а) Рассмотрим неравенство

$$\lg(0{,}2^x-5)<\log_{0{,}1}(95-3\cdot 0{,}2^x)^{-1}.$$

Так как $$\log_{0{,}1}A=-\lg A,$$ то

$$\lg(0{,}2^x-5)<\lg(95-3\cdot 0{,}2^x).$$

Основание логарифма больше $$1,$$ значит сравниваем аргументы:

$$0{,}2^x-5<95-3\cdot 0{,}2^x.$$

Тогда

$$4\cdot 0{,}2^x<100,$$

$$0{,}2^x<25,$$

$$5^{-x}<5^2,$$

$$-x<2,$$

$$x>-2.$$

Найдём область определения:

$$0{,}2^x-5>0 \;\Rightarrow\; 0{,}2^x>5 \;\Rightarrow\; 5^{-x}>5^1 \;\Rightarrow\; -x>1 \;\Rightarrow\; x<-1.$$

Пересекаем с найденным решением:

$$x\in(-2;\,-1).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\log_{0{,}1}(3\sqrt{3x+1}-2)>0{,}25\cdot \log_{0{,}1}\sqrt{3x+1}\cdot \lg(0{,}1^{-8}).$$

Так как $$\lg(0{,}1^{-8})=\lg(10^8)=8,$$ то

$$0{,}25\cdot \log_{0{,}1}\sqrt{3x+1}\cdot 8=2\log_{0{,}1}\sqrt{3x+1}.$$

Получаем

$$\log_{0{,}1}(3\sqrt{3x+1}-2)>2\log_{0{,}1}\sqrt{3x+1}.$$

Преобразуем правую часть:

$$2\log_{0{,}1}\sqrt{3x+1}=\log_{0{,}1}(3x+1).$$

Тогда

$$\log_{0{,}1}(3\sqrt{3x+1}-2)>\log_{0{,}1}(3x+1).$$

Так как основание $$0{,}1<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$3\sqrt{3x+1}-2<3x+1.$$

Обозначим $$t=\sqrt{3x+1}\ge 0.$$ Тогда

$$3t-2<t^2,$$

$$t^2-3t+2>0,$$

$$(t-1)(t-2)>0,$$

откуда

$$t<1 \quad \text{или} \quad t>2.$$

С учётом области определения:

$$3x+1>0 \;\Rightarrow\; x>-\frac13,$$

$$3\sqrt{3x+1}-2>0 \;\Rightarrow\; \sqrt{3x+1}>\frac23 \;\Rightarrow\; x>-\frac{5}{27}.$$

Итак,

$$\sqrt{3x+1}<1 \;\Rightarrow\; 3x+1<1 \;\Rightarrow\; x<0,$$

или

$$\sqrt{3x+1}>2 \;\Rightarrow\; 3x+1>4 \;\Rightarrow\; x>1.$$

С учётом ОДЗ получаем

$$x\in\left(-\frac{5}{27};\,0\right)\cup(1;\,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-2;\,-1).$$
б) $$x\in\left(-\frac{5}{27};\,0\right)\cup(1;\,+\infty).$$