Упр.28.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{5-2x}>7(-2x+11)$$
2. б) $$0{,}3\left(\sqrt{5x-1}-2\right)\leq 1$$
3. в) $$3^{-1}\sin x-\cos 2x<3\left(\cos 2x-0{,}5\right)$$
4. г) $$10\left(\ln(x-2)\cdot 0{,}1\geq 10^{-1}\ln(x+2)\right)$$

а) $$\left(\frac17\right)^{5-2x}>7^{-2x+11}.$$

Так как $$\left(\frac17\right)^{5-2x}=7^{2x-5},$$ получаем

$$7^{2x-5}>7^{-2x+11}.$$

При одинаковом основании $$7>1$$ сравниваем показатели:

$$2x-5>-2x+11,$$

$$4x>16,$$

$$x>3.$$

Ответ: $$x\in(3;+\infty).$$

б) $$0{,}3^{\sqrt{5x-1}-2}\le 1.$$

Так как $$0<0{,}3<1,$$ то неравенство равносильно

$$\sqrt{5x-1}-2\ge 0.$$

Тогда

$$\sqrt{5x-1}\ge 2,$$

$$5x-1\ge 4,$$

$$5x\ge 5,$$

$$x\ge 1.$$

С учётом области определения $$5x-1\ge 0$$ получаем тот же результат.

Ответ: $$x\in[1;+\infty).$$

в) $$\left(3^{-1}\right)^{\sin x-\cos 2x}<3^{\cos 2x-0{,}5}.$$

Преобразуем левую часть:

$$3^{\cos 2x-\sin x}<3^{\cos 2x-0{,}5}.$$

Так как $$3>1,$$ сравниваем показатели:

$$\cos 2x-\sin x<\cos 2x-0{,}5,$$

$$-\sin x<-0{,}5,$$

$$\sin x>\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$10^{\ln(x-2)}\cdot 0{,}1\ge (10^{-1})^{\ln(x+2)}.$$

Так как $$0{,}1=10^{-1},$$ имеем

$$10^{\ln(x-2)}\cdot 10^{-1}\ge 10^{-\ln(x+2)}.$$

Тогда

$$10^{\ln(x-2)-1}\ge 10^{-\ln(x+2)}.$$

При основании $$10>1$$ сравниваем показатели:

$$\ln(x-2)-1\ge -\ln(x+2),$$

$$\ln(x-2)+\ln(x+2)\ge 1,$$

$$\ln\bigl((x-2)(x+2)\bigr)\ge \ln e,$$

$$x^2-4\ge e,$$

$$x^2\ge e+4,$$

$$|x|\ge \sqrt{e+4}.$$

С учётом области определения $$x-2>0,$$ то есть $$x>2,$$ получаем

$$x\ge \sqrt{e+4}.$$

Ответ: $$x\in[\sqrt{e+4};+\infty).$$