Упр.28.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(\sin^2 x+1\right)\left(\lg(2x-3)-2\right)\le 0$$

Так как $$\sin^2 x+1>0$$ при любых $$x,$$ то достаточно решить неравенство

$$\lg(2x-3)-2\le 0.$$

С учётом области определения $$2x-3>0$$ получаем:

$$\lg(2x-3)\le 2 \iff 2x-3\le 10^2=100.$$

Тогда

$$3<2x\le 103,$$

$$\frac{3}{2}<x\le \frac{103}{2}.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{3}{2};\frac{103}{2}\right].$$

б) $$\left(\sqrt{6x-1}+5\right)\left(5^{x^2-1}-0{,}2\right)>0$$

Первый множитель положителен при всех допустимых $$x,$$ так как

$$\sqrt{6x-1}\ge 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{6x-1}+5>0.$$

Значит, нужно решить

$$5^{x^2-1}-0{,}2>0.$$

Так как $$0{,}2=5^{-1},$$ то

$$5^{x^2-1}>5^{-1} \iff x^2-1>-1 \iff x^2>0,$$

то есть $$x\ne 0.$$

Учитываем область определения:

$$6x-1\ge 0 \iff x\ge \frac16.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac16;+\infty\right).$$

Ответ: $$x\in\left[\frac16;+\infty\right).$$

в) $$\cos x\cdot\left(2^{x+3}+3^{x-7}\right)\ge 0$$

Второй множитель положителен при любых $$x,$$ так как

$$2^{x+3}>0,\qquad 3^{x-7}>0,$$

значит,

$$2^{x+3}+3^{x-7}>0.$$

Тогда достаточно решить

$$\cos x\ge 0.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$\left(2-\sqrt{3x+1}\right)\left(\log_{0{,}5}^2(3x-6)+2\right)<0$$

Второй множитель положителен, так как

$$\log_{0{,}5}^2(3x-6)\ge 0 \;\Rightarrow\; \log_{0{,}5}^2(3x-6)+2>0.$$

Значит, нужно решить

$$2-\sqrt{3x+1}<0.$$

Тогда

$$\sqrt{3x+1}>2,$$

$$3x+1>4,$$

$$3x>3,$$

$$x>1.$$

Учитываем область определения:

$$3x-6>0 \iff x>2.$$

Итак,

$$x\in(2;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$