Упр.28.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$\frac{\sqrt{2x+4}}{2(x-3)} \geq \frac{\sqrt{2x+4}}{7(x+3)}$$;
б) $$\frac{\sqrt{7+6x}}{0{,}2(x+1)} \leq \frac{\sqrt{7+6x}}{0{,}3(x+1)}$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{2x+4}}{2^{x-3}} \ge \frac{\sqrt{2x+4}}{7^{x-3}}.$$
Область определения:
$$2x+4 \ge 0,\quad x \ge -2.$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$\sqrt{2x+4}\left(\frac{1}{2^{x-3}}-\frac{1}{7^{x-3}}\right)\ge 0.$$
Так как
$$\frac{1}{2^{x-3}}-\frac{1}{7^{x-3}}=2^{3-x}-7^{3-x},$$
получаем
$$\sqrt{2x+4}\,(2^{3-x}-7^{3-x})\ge 0.$$
Рассмотрим множители:
- $$\sqrt{2x+4}=0 \iff x=-2;$$
- $$2^{3-x}-7^{3-x}=0 \iff 2^{3-x}=7^{3-x} \iff 3-x=0 \iff x=3.$$
При $$x> -2$$ знак выражения $$2^{3-x}-7^{3-x}$$ совпадает с знаком $$3-x$$, поэтому неравенство выполняется при $$x\ge 3$$, а также при $$x=-2$$.
Ответ: $$x\in\{-2\}\cup[3;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{7+6x}}{0{,}2^{x+1}} \le \frac{\sqrt{7+6x}}{0{,}3^{x+1}}.$$
Область определения:
$$7+6x \ge 0,\quad x \ge -\frac{7}{6}.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sqrt{7+6x}\left(\frac{1}{0{,}2^{x+1}}-\frac{1}{0{,}3^{x+1}}\right)\le 0.$$
Так как
$$\frac{1}{0{,}2^{x+1}}-\frac{1}{0{,}3^{x+1}}=0{,}2^{-x-1}-0{,}3^{-x-1},$$
то
$$\sqrt{7+6x}\,(0{,}2^{-x-1}-0{,}3^{-x-1})\le 0.$$
Нули множителей:
- $$\sqrt{7+6x}=0 \iff x=-\frac{7}{6};$$
- $$0{,}2^{-x-1}-0{,}3^{-x-1}=0 \iff 0{,}2^{-x-1}=0{,}3^{-x-1} \iff -x-1=0 \iff x=-1.$$
На промежутке $$x\ge -\frac{7}{6}$$ неравенство выполняется при
$$x\in\left[-\frac{7}{6};-1\right].$$
Ответ: $$x\in\left[-\frac{7}{6};-1\right].$$
