Упр.28.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(x^2-2x\right)\left(\operatorname{tg}^2(x)+2(x+1)\right)\le 0$$; б) $$\left(x^2+4x\right)\left(\operatorname{ctg}^2(x)+3(x-1)\right)\le 0$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\left(x^2-2x\right)\left(\tg^2 x+2^{x+1}\right)\le 0.$$

Так как $$\tg^2 x\ge 0,$$ а $$2^{x+1}>0$$ при любых допустимых значениях $$x,$$ то

$$\tg^2 x+2^{x+1}>0.$$

Значит, знак произведения определяется только первым множителем, и нужно решить неравенство

$$x^2-2x\le 0.$$

Имеем

$$x(x-2)\le 0,$$

откуда

$$0\le x\le 2.$$

Но выражение имеет смысл только при

$$\tg x \text{ существует}, \quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

В промежутке $$[0;2]$$ нужно исключить точку $$x=\frac{\pi}{2}.$$ Поэтому

$$x\in \left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2};2\right].$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(x^2+4x\right)\left(\ctg^2 x+3^{x-1}\right)\le 0.$$

Так как $$\ctg^2 x\ge 0,$$ а $$3^{x-1}>0$$ при любых допустимых значениях $$x,$$ то

$$\ctg^2 x+3^{x-1}>0.$$

Следовательно, достаточно решить

$$x^2+4x\le 0.$$

Получаем

$$x(x+4)\le 0,$$

откуда

$$-4\le x\le 0.$$

Но выражение имеет смысл только при

$$\ctg x \text{ существует}, \quad x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Точку $$x=0$$ нужно исключить, поэтому

$$x\in [-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$

Ответ

а) $$x\in \left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2};2\right].$$
б) $$x\in [-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$