Упр.28.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{x}\log_2(x^2-8)>0$$; б) $$3(x^2-19)\sqrt{x^2-4}<0$$; в) $$\sqrt{-x}\log_{\frac{1}{8}}(100-x^2)<0$$; г) $$2^{(x^2-5)-0{,}5}\log_6(4x+1)>0$$.
а) $$\sqrt{x}\cdot \log_2(x^2-8)>0$$
Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны быть одного знака. Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то нужно:
$$\sqrt{x}>0,\qquad \log_2(x^2-8)>0.$$
Из первого неравенства получаем $$x>0.$$
Из второго:
$$x^2-8>1,$$
$$x^2>9,$$
$$x<-3 \text{ или } x>3.$$
С учётом $$x>0$$ остаётся:
$$x>3.$$
Ответ: $$x\in(3;+\infty).$$
б) $$3^{x^2-19}\sqrt{x^2-4}<0$$
Так как $$3^{x^2-19}>0$$ при любых $$x,$$ то знак произведения определяется только вторым множителем. Но
$$\sqrt{x^2-4}\ge 0.$$
Следовательно, произведение не может быть отрицательным.
Ответ: $$\varnothing.$$
в) $$\sqrt{-x}\cdot \log_{\frac18}(100-x^2)<0$$
Чтобы произведение было отрицательным, нужно:
$$\sqrt{-x}>0,\qquad \log_{\frac18}(100-x^2)<0.$$
Из первого неравенства:
$$-x>0,\qquad x<0.$$
Так как основание логарифма $$\frac18<1,$$ то
$$\log_{\frac18}(100-x^2)<0 \iff 100-x^2>1.$$
Тогда
$$x^2<99,$$
$$-3\sqrt{11}<x<3\sqrt{11}.$$
С учётом $$x<0$$ получаем:
$$-3\sqrt{11}<x<0.$$
Ответ: $$x\in(-3\sqrt{11};0).$$
г) $$(2^{x^2-5}-0{,}5)\cdot \log_6(4x+1)>0$$
Рассмотрим знаки множителей.
$$2^{x^2-5}-0{,}5>0 \iff 2^{x^2-5}>2^{-1}\iff x^2-5>-1\iff x^2>4,$$
то есть
$$x<-2 \text{ или } x>2.$$
Далее:
$$\log_6(4x+1)>0 \iff 4x+1>1 \iff x>0.$$
Область определения логарифма:
$$4x+1>0 \iff x>-\frac14.$$
Теперь решаем по знакам произведения. Подходит случай, когда оба множителя положительны:
$$x>2.$$
Случай, когда оба отрицательны, невозможен, так как для $$\log_6(4x+1)<0$$ нужно $$-\frac14<x<0,$$ а тогда первый множитель положительным не будет.
Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$
