Упр.28.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\left(x+3\right)\log_{\frac{1}{7}}(x)<0$$; в) $$\frac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0$$; б) $$\left(x-5\right)\sqrt{x+1}<0$$; г) $$x\sqrt{x+7}<0$$.
а) Рассмотрим произведение $$\left(x+3\right)\log_{\frac17}x<0.$$
Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь разные знаки. При этом область определения: $$x>0.$$
Так как основание логарифма $$\frac17<1,$$ то
$$\log_{\frac17}x>0 \iff 0<x<1.$$
Тогда при $$x>0$$ и $$x+3>0$$ нужно, чтобы $$\log_{\frac17}x<0,$$ то есть $$x>1.$$
Следовательно,
$$x\in(1;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство $$\left(x-5\right)\sqrt{x+1}<0.$$
Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$
Так как $$\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при
$$x-5<0 \iff x<5,$$
и одновременно $$\sqrt{x+1}>0,$$ то есть $$x>-1.$$
Получаем
$$x\in(-1;5).$$
в) Решим неравенство
$$\frac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0.$$
Числитель положителен, когда
$$e^{3x-1}-1>0 \iff e^{3x-1}>1 \iff 3x-1>0 \iff x>\frac13.$$
Знаменатель должен быть положительным или отрицательным одновременно с числителем, а также не равен нулю: $$x\ne -8.$$
Знак дроби положителен, если числитель и знаменатель одного знака. Так как числитель положителен при $$x>\frac13,$$ то подходит также случай, когда оба отрицательны:
$$e^{3x-1}-1<0 \iff x<\frac13,$$
и $$x+8<0 \iff x<-8.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$
г) Решим неравенство
$$x\sqrt{x+7}<0.$$
Область определения: $$x+7\ge 0,$$ то есть $$x\ge -7.$$
Так как $$\sqrt{x+7}\ge 0,$$ то произведение отрицательно тогда и только тогда, когда
$$x<0$$
и одновременно $$\sqrt{x+7}>0,$$ то есть $$x>-7.$$
Следовательно,
$$x\in(-7;0).$$
Ответ
а) $$x\in(1;+\infty)$$; б) $$x\in(-1;5)$$; в) $$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-7;0)$$.
