Упр.28.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Данное неравенство замените более простым равносильным неравенством:

1. а) $$\lg(x^2+9)>\lg(2x^2+4)$$;
   б) $$1{,}4^{7x-9}\leqslant1{,}4^{x^2-8}$$;
   в) $$\sqrt[5]{4x-9}\geqslant\sqrt[5]{7x+9}$$;
   г) $$\log_{0{,}2}(16x^2+8)<\log_{0{,}2}(x^2+1)$$.

а) Так как основание логарифма $$10>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$\lg(x^2+9)>\lg(2x^2+4)\iff x^2+9>2x^2+4.$$

Область определения: $$x^2+9>0,\quad 2x^2+4>0,$$ что верно при всех $$x\in\mathbb R.$$

Итак, получаем:

$$x^2-5<0.$$

б) Так как основание степени $$1{,}4>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$1{,}4^{\,7x-9}\le 1{,}4^{\,x^2-6}\iff 7x-9\le x^2-6.$$

Следовательно,

$$x^2-7x+3\ge 0.$$

в) Возведём обе части неравенства в пятую степень. Поскольку функция $$y=x^5$$ возрастает, знак неравенства сохраняется:

$$\sqrt[5]{4x-9}\ge \sqrt[5]{7x+9}\iff 4x-9\ge 7x+9.$$

Отсюда

$$3x+18\le 0.$$

г) Так как основание логарифма $$0{,}2<1,$$ то при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

$$\log_{0{,}2}(16x^2+8)<\log_{0{,}2}(x^2+1)\iff 16x^2+8>x^2+1.$$

Область определения: $$16x^2+8>0,\quad x^2+1>0,$$ что верно при всех $$x\in\mathbb R.$$

Итак, получаем:

$$15x^2+7>0.$$

Ответ

а) $$x^2-5<0$$; б) $$x^2-7x+3\ge 0$$; в) $$3x+18\le 0$$; г) $$15x^2+7>0$$.