Упр.28.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(2x-3\right)\left(3x-4\right)\le 0$$;
б) $$\left(3\log_{3}(x)-1\right)\left(3x-4\right)\ge 0$$.

а) Рассмотрим произведение $$\left(2^x-3\right)\left(3x-4\right)\le 0.$$

Найдём нули множителей:

$$2^x-3=0 \;\Rightarrow\; 2^x=3 \;\Rightarrow\; x=\log_2 3,$$

$$3x-4=0 \;\Rightarrow\; x=\frac43.$$

Так как функция $$2^x$$ возрастает, то $$2^x-3<0$$ при $$x<\log_2 3$$ и $$2^x-3>0$$ при $$x>\log_2 3.$$

Линейный множитель $$3x-4$$ отрицателен при $$x<\frac43$$ и положителен при $$x>\frac43.$$

Произведение не положительно, когда множители разных знаков или один из них равен нулю. Получаем:

$$x\in\left[\frac43;\,\log_2 3\right].$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(3\log_3 x-1\right)\left(3x-4\right)\ge 0.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём нули множителей:

$$3\log_3 x-1=0 \;\Rightarrow\; \log_3 x=\frac13 \;\Rightarrow\; x=\sqrt[3]{3},$$

$$3x-4=0 \;\Rightarrow\; x=\frac43.$$

Так как $$\log_3 x$$ возрастает, то $$3\log_3 x-1<0$$ при $$0<x<\sqrt[3]{3}$$ и $$3\log_3 x-1>0$$ при $$x>\sqrt[3]{3}.$$

Тогда произведение неотрицательно на промежутках, где знаки множителей одинаковы:

$$x\in\left(0;\,\frac43\right]\cup\left[\sqrt[3]{3};\,+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac43;\,\log_2 3\right];$$ б) $$x\in\left(0;\,\frac43\right]\cup\left[\sqrt[3]{3};\,+\infty\right).$$